Uneindeutiger Grenzwert einer Folge?

22.08.2013, 11:26

SigmundFreud

Uneindeutiger Grenzwert einer Folge?

Hallo zusammen,
ich habe mal eine Frage bzgl eines Beweises eines Grenzwertes einer Folge.

Gegeben ist die Folge: $\begin{eqnarray*} a_n = \frac{2*n-1}{3n} \end{eqnarray*}$ mit einem vermuteten Grenzwert von $\begin{eqnarray*} 2/3 \end{eqnarray*}$

Beweis aus der Vorlesung:

$\begin{eqnarray*} |a_n - 2/3|=|\frac{2*n-1}{3n} - 2/3|=|\frac{-1}{3n}|=\frac{1}{3n} \end{eqnarray*}$

Nun wird abgeschätzt:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{3n}<e <=> n>\frac{1}{3e} \end{eqnarray*}$
________________________________________________________

Ich frage mich nun folgendes.
Nehme ich an, dass der Grenzwert 3 ist, so komme ich ähnlich der oben durchgeführten Berechnung zu folgendem Ergebnis:
$\begin{eqnarray*} n>\frac{1}{3*e-7} \end{eqnarray*}$

Für $\begin{eqnarray*} e = 7/3 >0 \end{eqnarray*}$ ist die oben erklärte Abschätzung nicht definiert (0 unter dem Bruchstrich).
Ich argumentiere also, dass 3 nicht der Grenzwert der Folge sein kann, da ich für $\begin{eqnarray*} e = 7/3 >0 \end{eqnarray*}$ kein N aus den natürlichen Zahlen finde.

Richtig?

Kann ich den im weiteren davon ausgehen, dass der oben ermittelte Grenzwert immer eindeutig ist? Ansonsten müsste ich ja alle von 2/3 verschiedenen Werte noch ausprobieren.

Gruß,Sigmund

22.08.2013, 11:44

magic_hero

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Falls ein Grenzwert existiert, so ist er immer eindeutig. Das zeigt man normalerweise auch in einer Vorlesung.

22.08.2013, 11:51

Che Netzer

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RE: Uneindeutiger Grenzwert einer Folge?

Zitat:

Original von SigmundFreud
Für $\begin{eqnarray*} e = 7/3 >0 \end{eqnarray*}$ ist die oben erklärte Abschätzung nicht definiert (0 unter dem Bruchstrich).

Und zwar weil du durch Null geteilt hast.

Zitat:

Ich argumentiere also, dass 3 nicht der Grenzwert der Folge sein kann, da ich für $\begin{eqnarray*} e = 7/3 >0 \end{eqnarray*}$ kein N aus den natürlichen Zahlen finde.

Nein. Für $\begin{eqnarray*} \varepsilon=\frac73 \end{eqnarray*}$ lässt sich zwar tatsächlich kein geeignetes $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ finden, aber deine Begründung ist falsch.

22.08.2013, 12:39

SigmundFreud

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Mhm, ok!
Also ich hab die Definition nochmal nachgeschlagen:
Die Zahl a heißt Grenzwert der Folge $\begin{eqnarray*} (a_n) \end{eqnarray*}$ , falls es für alle $\begin{eqnarray*} \varepsilon >0 \end{eqnarray*}$ eine natürliche Zahl N gibt, sodass $\begin{eqnarray*} |a_n-a |< \varepsilon \end{eqnarray*}$ , falls $\begin{eqnarray*} n >= N \end{eqnarray*}$ .

Idee: Die Zahl 3 ist kein Grenzwert der Folge, da z.B. für $\begin{eqnarray*} \varepsilon=2 >0 \end{eqnarray*}$ aus $\begin{eqnarray*} |a_n-a |< 2 \end{eqnarray*}$ folgt:
$\begin{eqnarray*} 1 < -1*n \end{eqnarray*}$ . Da kein n aus den natürlichen Zahlen existiert, sodass die Ungleichung wahr ist kann 3 nicht der Grenzwert der Folge sein.

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