Harmonische Reihe

22.08.2013, 13:53

küb

Harmonische Reihe

Meine Frage:
Hey Leute,

komme bei folgender Aufgabe nicht weiter:

Die harmonische Reihe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty a_{n} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a_{n} = \frac {1}{n}, n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ , ist divergent.

Andererseits gilt $\begin{eqnarray*} | \frac{a_{n+1} }{a_{n} } | = \frac{n}{n+1} < 1 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ .

Begründen Sie, warum hier kein Widerspruch zum Quotientenkriterium vorliegt.

Also das Quotientenkriterium lautet ja:

Wenn $\begin{eqnarray*} \lim_{k \to \infty }| \frac{a_{k+1} }{a_{k} } | \end{eqnarray*}$ existiert und kleiner als 1 ist / größer als 1 ist, so ist
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^\infty a_{k} \end{eqnarray*}$ konvergent / divergent.

Wieso existiert denn kein Widerspruch?
Muss ich mir den Limes von $\begin{eqnarray*} \frac{n}{n+1} \end{eqnarray*}$ anschauen?
Der wäre ja 1 für n gegen unendlich, wenn ich umforme zu $\begin{eqnarray*} \frac{1}{1+\frac{1}{n}} \end{eqnarray*}$
Aber was sagt mir das?

Meine Ideen:

22.08.2013, 13:57

Captain Kirk

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

schau dir mal diese beiden von dir richtigerweise getroffenen Aussagen an:

Zitat:

existiert und kleiner als 1 ist / größer als 1 ist

Zitat:

Der wäre ja 1

Was hat letzteres mit Ersterem (nicht) zu tun

22.08.2013, 14:04

küb

Auf diesen Beitrag antworten »