Zeige Konvergenz einer Reihe

22.08.2013, 15:53

Mathelover

Zeige Konvergenz einer Reihe

Hallo liebe Boardies,

habe diesmal eine Aufgabe bei der ich die Konvergenz einer Reihe zeigen soll.

Sei $\begin{eqnarray*} (a_n)_{n\in\mathbb{N}} \end{eqnarray*}$ eine beschränkte und monoton wachsende Folge positiver Zahlen.

Zeigen Sie, dass die Reihe

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty} \left ( \frac{a_{n+1}}{a_n} -1\right ) \end{eqnarray*}$

konvergiert.

Hinweis: Betrachten Sie die Partialsummenfolge obiger Reihe.

Meine Idee:

Normalerweise wendet man ja bei Reihen Majo, Mino, Quot, Wurz- kriterien an, aber mir bereitet das $\begin{eqnarray*} a_{n+1} \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ Probleme.

22.08.2013, 16:49

HAL 9000

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An sich kann man diese Partialsumme ganz einfach nach oben abschätzen

$\begin{eqnarray*} s_k = \sum_{n=1}^k \left( \frac{a_{n+1}}{a_n}-1 \right) = \sum_{n=1}^k \frac{a_{n+1}-a_n}{a_n} \leq \sum_{n=1}^k \frac{a_{n+1}-a_n}{a_1} \end{eqnarray*}$ ,

was schon mehr als die halbe Miete ist.

P.S.: Fast noch interessanter ist die verwandte Problemstellung

Zitat:

Sei $\begin{eqnarray*} (a_n)_{n\in\mathbb{N}} \end{eqnarray*}$ eine unbeschränkte Folge positiver Zahlen.

Zeigen Sie, dass die Reihe

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{a_{n+1}}{a_n} - 1 \right) \end{eqnarray*}$

divergiert.

22.08.2013, 17:37

Mathelover

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Zitat:

Original von HAL 9000
An sich kann man diese Partialsumme ganz einfach nach oben abschätzen

$\begin{eqnarray*} s_k = \sum_{n=1}^k \left( \frac{a_{n+1}}{a_n}-1 \right) = \sum_{n=1}^k \frac{a_{n+1}-a_n}{a_n} \leq \sum_{n=1}^k \frac{a_{n+1}-a_n}{a_1} \end{eqnarray*}$ ,

was schon mehr als die halbe Miete ist.

Also die Folge sei ja beschränkt und monoton wachsend. D.h. sie konvergiert gegen irgendein Wert a mit $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}a_n=a \end{eqnarray*}$

Und weil sie monoton wachsend ist, gilt außerdem: $\begin{eqnarray*} 0 < a_1 \leq a_n \leq a \end{eqnarray*}$

Jetzt definierst du ein $\begin{eqnarray*} (s_k)_{k\in\mathbb{N}} =\sum_{n=1}^k\left( \frac{a_{n+1}}{a_n}-1 \right) = \sum_{n=1}^k \frac{a_{n+1}-a_n}{a_n} \leq \sum_{n=1}^k \frac{a_{n+1}-a_n}{a_1} \end{eqnarray*}$

Da $\begin{eqnarray*} a_1 \end{eqnarray*}$ eine Zahl ist, kann ich ja $\begin{eqnarray*} a_1 \end{eqnarray*}$ ausklammern, also folgt:

$\begin{eqnarray*} = \frac{1}{a_1}\sum_{n=1}^k \left (a_{n+1}-a_n \right ) \end{eqnarray*}$

Wie gehts jetzt weiter?

Ich soll doch zeigen, dass $\begin{eqnarray*} s_k \end{eqnarray*}$ nach oben beschränkt ist.

22.08.2013, 17:52

HAL 9000

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Die hier rechts vorliegende Teleskopsumme ist eigentlich kaum zu übersehen.

22.08.2013, 17:59

Mathelover

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Stimmt

Dann folgt:

$\begin{eqnarray*} = \frac{1}{a_1}\sum_{n=1}^k \left (a_{n+1}-a_n \right )=\frac{1}{a_1}(a_{k+1}-a_1)\leq\frac{1}{a_1}(a-a_1) \end{eqnarray*}$

Damit ist die Partialsumme beschrönkt und somit auch die Reihe selbst.

Richtig?

22.08.2013, 18:01

HAL 9000

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Die Partialsummen sind beschränkt, ja. Zur Reihenkonvergenz fehlt natürlich noch ein kleines Argument.

22.08.2013, 18:02

Mathelover

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Wolltest du den Begriff Monotonikriterium hören?

Ehm ich meinte, die Partialsumme ist beschränkt, daraus folgt die Konvergenz der Reihe.

22.08.2013, 18:03

HAL 9000

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Ich wollte eigentlich die Begründung hören, warum man es auch auf $\begin{eqnarray*} (s_k) \end{eqnarray*}$ anwenden kann. Konkret: Man sollte schon ein paar Worte darüber verlieren, warum auch $\begin{eqnarray*} (s_k) \end{eqnarray*}$ monoton wachsend ist. Immer wenn m.E. nicht ganz sattelfeste Leute sagen, "ist doch trivial", bohre ich gern nach. Augenzwinkern

22.08.2013, 18:06

Mathelover

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Weil ja $\begin{eqnarray*} (a_n) \end{eqnarray*}$ monoton wachsend ist, so gilt auch, dass $\begin{eqnarray*} (s_k) \end{eqnarray*}$ monoton wachsend ist. Insgesamt folgt dann, die Konvergenz der Reihe, oder nicht?

22.08.2013, 18:09

Mathelover

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Stimmt mein Argument nicht? Kannst du mich bitte aufklären?

22.08.2013, 18:13

HAL 9000

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Das eine ist zu schwer, um selbst drauf zu kommen - und eine Spur einfacher ist es dann schon zu trivial, um es mal aufzuschreiben:

Aus der Monotonie und Positivität von $\begin{eqnarray*} (a_n) \end{eqnarray*}$ folgt $\begin{eqnarray*} \frac{a_{n+1}}{a_n}\geq 1 \end{eqnarray*}$ . Damit ist jeder Summand von $\begin{eqnarray*} s_k =\sum_{n=1}^k\left( \frac{a_{n+1}}{a_n}-1 \right) \end{eqnarray*}$ nichtnegativ, und somit deren Summe $\begin{eqnarray*} s_k \end{eqnarray*}$ bzgl. $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ monoton wachsend.

22.08.2013, 18:17

Mathelover

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Ahhhhh okay, das war hilfreich smile

Vielen Dank HAL 9000 Freude

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