Aufgabe mit Bernoulli-l'Hôpital

22.08.2013, 22:29

Kanon

Aufgabe mit Bernoulli-l'Hôpital

Meine Frage:
Hallo!

Ich habe hier eine Aufgabe mit Bernoulli-l'Hôpital, zu der ich auch die Musterlösung habe, aber ich verstehe die Umformungen nicht...

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \frac{\pi }{4} } (tan(x))^{tan(2x)} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
1. (noch klar) $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \frac{\pi }{4} } (tan(x))^{tan(2x)} = \lim_{x \to \frac{\pi }{4} } e^{ln(tan(x)) \cdot tan(2x)} = \lim_{ x \to \frac{\pi }{x} } \frac{ln(tan(x))}{\frac{1}{tan(2x)} } \end{eqnarray*}$

2.)(ab hier versteh ich nichts mehr: Wo ist der Logarithmus hin? Und wo kommen die zusätzlichen tan her?)
$\begin{eqnarray*} \lim_{ x \to \frac{\pi }{x} } \frac{\frac{1}{tan(x)}(1+tan^2(x)) }{-\frac{1}{tan^2(2x)} \cdot 2(1+tan^2(2x)} = \lim_{ x \to \frac{\pi }{x} } - \frac{1+tan^2(x)}{2tan(x) \cdot (1+ \frac{1}{tan^2(2x)}) } \end{eqnarray*}$

3.)(das ist wieder klar) $\begin{eqnarray*} -\frac{1+1}{2(1+0)} = -1 \end{eqnarray*}$ und somit wegen der Stetigkeit der e-Fkt.: $\begin{eqnarray*} e^{-1} \end{eqnarray*}$ als Grenzwert.

Aber die Umformung dazwischen macht mir echt Probleme. Kann mir das jemand erklären? Danke sehr. smile

22.08.2013, 22:32

grosserloewe

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RE: Aufgabe mit Bernoulli-l'Hôpital
Wink

Bei dieser Regel mußt Du doch den Zähler und Nenner getrennt ableiten.
Dann entstehen diese Ergebnisse.

22.08.2013, 22:34

Che Netzer

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RE: Aufgabe mit Bernoulli-l'Hôpital
Hier steht übrigens Unsinn:

Zitat:

Original von Kanon
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \frac{\pi }{4} } e^{ln(tan(x)) \cdot tan(2x)} = \lim_{ x \to \frac{\pi }{x} } \frac{ln(tan(x))}{\frac{1}{tan(2x)} } \end{eqnarray*}$

22.08.2013, 22:57

grosserloewe

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RE: Aufgabe mit Bernoulli-l'Hôpital
Wink

ja in der Musterlösung hat man ganz rechts beim Ausdruck das e (hoch)
nicht geschrieben ,

Das x ist wohl ein Druckfehler im rechten Ausdruck beim Limes.

Hinweis:

Betrifft Zele 2:

Beim 1. Ausdruck wurde der Zähler und Nenner jeweils 1 Mal abgeleitet.
Beim 2. Ausdruck wurden Zähler und Nenner jeweils mit tan(x) multipliziert.

Laß Dich nicht verwirren, der Grenzwert stimmt schon

:-)

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