punktweise/gleichmäßige Konvergenz-Beweis

22.08.2013, 23:42

Mathelover

punktweise/gleichmäßige Konvergenz-Beweis

Hallo Freunde,

habe hier eine Aufgabe, bei der ich die punktweise und gleichmäßige Konvergenz untersuchen soll.

Untersuchen Sie die auf $\begin{eqnarray*} (0,\infty) \end{eqnarray*}$ definierte Funktionenfolge $\begin{eqnarray*} (f_n)_{n\in\mathbb{N}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f_n(x)=n\ ln\left ( \frac{1+nx}{nx} \right ) \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb{N},\ x\in(0,\infty) \end{eqnarray*}$

auf punktweise und gleichmäßige Konvergenz.

Ich würde zunächst einmal den $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} f_n(x) \end{eqnarray*}$ betrachten und dann schauen, ob es ein $\begin{eqnarray*} \epsilon>0 \end{eqnarray*}$
gibt, sodass die Ungleichung $\begin{eqnarray*} |f_n(x)-f(x)|\leq\epsilon \end{eqnarray*}$ gilt.

Ist mein Gedanke richtig?

23.08.2013, 00:21

Frehmen

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Genau!

Du haltest $\begin{eqnarray*} $x_0\in(0,\infty)$ \end{eqnarray*}$ fest und berechnest den grenzwert der Folge $\begin{eqnarray*} $y_n=n\ln\left(\frac{1+nx_0}{nx_0}\right)$ \end{eqnarray*}$ .
Den Grenzwert würd ich aber mit l'hospital berechnen

23.08.2013, 00:46

Mathelover

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Um L´Hospital anzuwenden muss ich ja aber die Form $\begin{eqnarray*} \frac{0}{0} \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \frac{\infty}{\infty} \end{eqnarray*}$ erhalten. Das ist aber hier nicht der Fall, oder?

23.08.2013, 00:53

Frehmen

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du bist in einer ähnlichen Situation. Der Therm im Logarithmus geht gegen 1, also folgt $\begin{eqnarray*} \lim_{n\rightarrow \infty} \ln\left(\frac{1+nx}{nx}\right)=\ln(1)=0 \end{eqnarray*}$

Insgesamt $\begin{eqnarray*} $\lim_{n\rightarrow \infty} n \ln\left(\frac{1+nx}{nx}\right) \tilde{=} \infty\cdot 0$ \end{eqnarray*}$

23.08.2013, 01:00

Mathelover

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Das heißt also beim Fall: $\begin{eqnarray*} \infty\ *0 \end{eqnarray*}$ kann man den L´Hospital auch verwenden?

23.08.2013, 01:04

Frehmen

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Ja, du musst die Folge hierzu umschreiben

$\begin{eqnarray*} n\ln\left(\frac{1+nx}{nx}\right)=\frac{\ln\left(\frac{1+nx}{nx}\right)}{\frac{1}{n}}\tilde{=}\frac{\infty}{\infty} \end{eqnarray*}$

23.08.2013, 01:11

Guppi12

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} n\ln\left(\frac{1+nx}{nx}\right)=\frac{\ln\left(\frac{1+nx}{nx}\right)}{\frac{1}{n}}\tilde{=}\frac{0}{0} \end{eqnarray*}$

Bin wieder weg.

23.08.2013, 01:12

Mathelover

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echt raffiniert Big Laugh

danke.

ich versuch mal jetzt abzuleiten Big Laugh

23.08.2013, 01:22

Mathelover

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Wie soll ich den L´Hospital anwenden?

Ich erhalte im Nenner nämlich 0. Also für $\begin{eqnarray*} {(\frac{1}{n})}' \end{eqnarray*}$

23.08.2013, 01:35

Frehmen

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Ich hab $\begin{eqnarray*} $\delta=1/n$ \end{eqnarray*}$ gesetzt, wodurch $\begin{eqnarray*} $\delta \rightarrow 0$ \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} $\lim_{\delta\rightarrow 0}\frac{\ln\left(1+\frac{\delta}{x}\right)}{\delta}=\lim_{\delta\rightarrow 0}\frac{\frac{1}{1+\frac{\delta}{x}}\frac{1}{x}}{1}=\frac{1}{x}$ \end{eqnarray*}$

Das sollte aber auch einfacher gehen.

23.08.2013, 01:45

Mathelover

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Okay, das heißt also dass mein $\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ ist.

Jetzt kann ich ja die Ungleichung anwenden, oder?

$\begin{eqnarray*} |f_n(x)-f(x)|\leq\epsilon \end{eqnarray*}$

23.08.2013, 01:56

Frehmen

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Einfachere Lösung

$\begin{eqnarray*} $\lim_{n\rightarrow\infty}e^{n\ln\left(\frac{1+nx}{nx}\right)}=\lim_{n\rightarrow\infty} \left(\frac{1+nx}{nx}\right)^n=e^{1/x}$ \end{eqnarray*}$ . Da $\begin{eqnarray*} $\ln$ \end{eqnarray*}$ stetig ist
$\begin{eqnarray*} $\lim_{n\rightarrow\infty} n\ln\left(\frac{1+nx}{nx}\right)=\lim_{n\rightarrow\infty}\ln\left(e^{n\ln\left(\frac{1+nx}{nx}\right)}\right)=\ln\left(\lim_{n\rightarrow\infty}e^{n\ln\left(\frac{1+nx}{nx}\right)}\right)=\ln\left(e^{1/x}\right)=1/x$ \end{eqnarray*}$

Du weißt jetzt, dass $\begin{eqnarray*} $f(x)=1/x$ \end{eqnarray*}$ die punktweise Grenzfunktion ist. Glaubst du, dass die Konvergenz auch gleichmäßig ist?

23.08.2013, 02:48

Frehmen

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Zitat:

Original von Mathelover
Okay, das heißt also dass mein $\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ ist.

Jetzt kann ich ja die Ungleichung anwenden, oder?

$\begin{eqnarray*} |f_n(x)-f(x)|\leq\epsilon \end{eqnarray*}$

Der Ansatz ist richtig. Wir haben mithilfe von l'hospital gerade die punktweise Konvergenz gezeigt, also
$\begin{eqnarray*} $\forall x\in (0,\infty)\forall \epsilon>0\exists N(x,\epsilon)\in \mathbb{N}:\left(|f_n(x)-f(x)|<\epsilon\forall n\geq N(x,\epsilon)\right)$ \end{eqnarray*}$ . Wir können $\begin{eqnarray*} $N(x,\epsilon)$ \end{eqnarray*}$ nicht explizit angeben (also als Funktion hinschreiben), aber wir wissen dass es gilt.

Nun wollen wir gleichmäßige konvergenz zeigen. Es stellt sich also die Frage, ob man das $\begin{eqnarray*} $N$ \end{eqnarray*}$ unabhängig von $\begin{eqnarray*} $x$ \end{eqnarray*}$ wählen kann, also ob $\begin{eqnarray*} $N=N(\epsilon)$ \end{eqnarray*}$ .

Dazu sollte man sich überlegen, für welche $\begin{eqnarray*} $x$ \end{eqnarray*}$ der Fehler $\begin{eqnarray*} $|f_n(x)-f(x)|$ \end{eqnarray*}$ besonders groß wird.

Welche $\begin{eqnarray*} $x$ \end{eqnarray*}$ könnten das sein?

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