Binominalkoeffizient - Eigenschaften

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23.08.2013, 20:42	Kimyaci	Auf diesen Beitrag antworten »
Binominalkoeffizient - Eigenschaften Folgende Eigenschaften der Binominalkoeffizienten gelten: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} n \\ n-k \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} n \\ 0 \end{pmatrix} = 1 \end{eqnarray}$ In meinem Buch steht nur, dass beide Aussagen trivial wären (im Anschluss wird eine etwas kniffligere bewiesen). Woran sehe ich das?
23.08.2013, 20:50	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \binom{n}{k}:=\frac{n!}{k!(n-k)!} \end{eqnarray}$ Die symmetrie Eigenschaft erhältst du indem du nun einfach für jedes k das (n-k) einsetzt. Und $\begin{eqnarray} \binom{n}{0} \end{eqnarray}$ kannst du eigentlich auch ganz leicht nachrechnen. Ob das jedoch als Beweis durchgeht kann ich dir nicht genau sagen, aber so ist es denke ich mal mit dem trivial gemeint.
23.08.2013, 21:03	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
zumindest $\begin{eqnarray} \binom n 0 \end{eqnarray}$ ist nicht trivial. Um den Binomialkoeffizienten auch für k=0 zu retten , ist schon eine Definition notwendig. z.b. gilt: $\begin{eqnarray} (a+b)^3=1\cdot a^3 + 3a^2b+3ab^2 + 1 \cdot b^3 \end{eqnarray}$ um dies auch am "Rand" ( =1) zu retten, muss der Binomialkoeffizient $\begin{eqnarray} \binom 3 0 = \binom 3 3 \end{eqnarray}$ definiert werden. Dazu ist aber nach der obigen Definition notwendig, 0!=1 zu definieren.
23.08.2013, 21:08	Kimyaci	Auf diesen Beitrag antworten »
@Gmastherflash: Es geht mir ja auch nicht um den Beweis (jedenfalls noch nicht), sondern nur darum zu erkennen warum das gilt. Kann ich das auch ohne Rechnerei sehen? @Dopap: Die Fakultät wurde zuvor schon definiert (wenn auch nur im Schnelldurchgang). Aber ich sehe den Zusammenhang zwischen 0! = 1 und der binomischen Formel noch nicht wirklich, i.e. wie du auf $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ kommst ist mir rätselhaft. Die Definition ist doch: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} = \frac{n!}{k!(n-k)!} \end{eqnarray}$
23.08.2013, 21:08	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Noch eine andere kombinatorische Interpretation: $\begin{eqnarray} \binom{n}{k} \end{eqnarray}$ ist die Anzahl der k-elementigen Teilmengen einer n-elementigen Menge. Betrachte ich nun die Anzahl der (n-k)-elementigen Teilmengen einer n-elementigen Menge, so bekomme ich natürlich zu jeder Auswahl einer solchen (n-k)-elementigen Menge auch eine eindeutig bestimmte k-elementige Menge (nämlich das Komplement in der n-elementigen Menge) und umgekehrt genauso. Deswegen müssen diese beiden Zahlen gleich sein. Je nachdem, wie man den Binomialkoeffizient definiert, ist die eine oder die andere Anschauung elementarer.
23.08.2013, 21:10	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
@Kimyaci: Eine Veranschaulichung würde dir das Pascalsche Dreieck liefern.
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23.08.2013, 21:20	Kimyaci	Auf diesen Beitrag antworten »
Oookay, dann bleibe ich erst mal bei Gmasterflash's Vorschlag (alles auf einmal verwirrt etwas): [attach]31280[/attach] Das Bild hab ich aus dem Internet - da ich etwas schreibfaul bin. $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} = 1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = 1 \end{eqnarray}$ usw. Das hab ich jetzt verstanden. Also wäre Aussage 2 schon mal abgehakt. Aber Aussage 1 sehe ich immer noch nicht auf Anhieb. @Guppi: Obiges (mit dem Pascal'schen Dreieck) fällt mir persönlich leichter als deine Argumentation. Edit: Einen Moment, ich glaub ich habs gleich. $\begin{eqnarray} \binom{n}{k}:=\frac{n!}{k!(n-k)!} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \binom{n}{k}:=\frac{n!}{(n-k)!(n-(n-k))!} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \binom{n}{k}:=\frac{n!}{(n-k)!k!} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \binom{n}{k}:=\frac{n!}{k!(n-k)!} \end{eqnarray}$ Oh, durch Nachrechnen ging das schneller als gedacht, sorry, dass ich das nicht direkt zu Beginn gemacht hab.
23.08.2013, 21:25	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Pascalsche Dreieck sollte lediglich zur Visualisierung dienen. Eine Erklärung ist es eigentlich nicht, weil man mithilfe des Binomialkoeffizienten das Pascalsche Dreieck berechnet und nicht unbedingt umgekehrt.
23.08.2013, 21:29	Kimyaci	Auf diesen Beitrag antworten »
Okaaaay! Dann war das Ganze doch einfacher als ichs mir vorgestellt hab. Danke an alle für die Mühe! Entschuldigt, wenn ich das Ganze noch nicht so "mathematisch exakt" mache/machen kann, aber in die Schulmathematik passt das denke ich nicht wirklich.

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