Funktionenfolge-Konvergenz - Seite 2

26.08.2013, 12:32

Mathelover

Hey Gruppi12,
können wir bitte die Def für die glm. Konvergenz verwenden. Bei den musterlösungen wird das naemlich auch verwendet.

Zitat:

Es ist dein $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ genau dann gleichmäßiger Grenzwert der $\begin{eqnarray*} f_n \end{eqnarray*}$ , wenn gilt:
$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}\sup\limits_{x\in [0,1]}|f_n(x)-f(x)| = 0 \end{eqnarray*}$

26.08.2013, 12:40

Guppi12

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich finde das zwar etwas merkwürdig, wenn sie in der Musterlösung verwandt wird, obwohl ihr sie ja noch nicht besprochen habt, aber gut.

Sollen wir erst nochmal klären, warum das äquivalent zu der Definition ist, die du verwendest?

Das Rezept bleibt übrigens vorerst das gleiche(das kann man an der Definition übrigens schön sehen.)

Wenn du eine globale Maximumsstelle von $\begin{eqnarray*} |f_n(x)-f(x)| \end{eqnarray*}$ hast(wobei in diesem Fall $\begin{eqnarray*} |f_n(x)-f(x)| = f_n(x) \end{eqnarray*}$ gilt), so kannst du den Funktionswert an dieser Stelle für das Supremum einsetzen.

Wie weit bist du mit der Extremwertbestimmung?

26.08.2013, 14:35

Mathelover

Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry, dass ich mich erst jetzt melde.

Also die Ableitung lautet:

$\begin{eqnarray*} {f_n(x)}'=n^{\alpha-2} *\left ( \frac{\frac{1}{n^2}-x^2}{(\frac{1}{n^2}+x^2)^2}\right ) \end{eqnarray*}$

Wenn ich das 0 setze und nach ich auflöse erhalte ich:

$\begin{eqnarray*} x_1 = + \frac{1}{n} x_2 = - \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$

26.08.2013, 14:50

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

Igitt... Hässliche Ableitung.
Mit $\begin{eqnarray*} \sqrt{y}\leq\frac{1+y}2 \end{eqnarray*}$ geht es hübscher, falls das bekannt ist (ist eigentlich nur $\begin{eqnarray*} (\sqrt y-1)^2\geq0 \end{eqnarray*}$ ):
$\begin{eqnarray*} f_n(x)=\frac{\sqrt{n^{2\alpha}x^2}}{1+n^2x^2}=n^{\alpha-1}\frac{\sqrt{n^2x^2}}{1+n^2x^2}\leq\frac{n^{\alpha-1}}2=f_n\left(\frac1n\right)\,. \end{eqnarray*}$

26.08.2013, 14:58

Mathelover

Auf diesen Beitrag antworten »

Hey Che,

für $\begin{eqnarray*} f_n(\frac{1}{n}) \end{eqnarray*}$ erhalte ich ebenfalls: $\begin{eqnarray*} \frac{n^{\alpha-1}}{2} \end{eqnarray*}$

Wie gehts jetzt weiter, kann ich jetzt die Definition verwenden?

26.08.2013, 15:05

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt kannst du schonmal den schwarzen Teil in
$\begin{eqnarray*} {\color{red}\lim_{n\to\infty}}\sup\limits_{x\in [0,1]}|f_n(x)-f(x)| \end{eqnarray*}$
ausrechnen – egal, ob über Extremwertsuche oder mit der genannten Abschätzung.
Schaffst du das?

26.08.2013, 15:15

Mathelover

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich versuchs mal Big Laugh

Also:

$\begin{eqnarray*} {\color{red}\lim_{n\to\infty}}\sup\limits_{x\in [0,1]}|f_n(x)-f(x)| \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} {\color{red}\lim_{n\to\infty}}{\color{blue}\sup\limits_{x\in [0,1]}}|f_n(\frac{1}{n})-f(\frac{1}{n})|=|f_n(\frac{1}{n})|=|\frac{n^{\alpha-1}}{2}| \end{eqnarray*}$

So jetzt verstehe ich aber den blauen Teil nicht?

26.08.2013, 15:19

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

Das gehen wir mal lieber in einer anderen Reihenfolge an.
Zunächst einmal betrachte $\begin{eqnarray*} \lvert f_n(x)-f(x)\rvert \end{eqnarray*}$ . Was ist $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ in dem Fall, den wir gerade betrachten? Wie sieht dieser Term also wirklich aus?

26.08.2013, 15:23

Mathelover

Auf diesen Beitrag antworten »

Okay Che(f) Big Laugh

Also mein $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ ist meine Grenzfunktion für den Fall das $\begin{eqnarray*} \alpha < 0 \end{eqnarray*}$ ist, richtig?
also $\begin{eqnarray*} f(x)= 0 \end{eqnarray*}$

26.08.2013, 15:29

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

Du meinst $\begin{eqnarray*} \alpha<2 \end{eqnarray*}$ ! Verwechsel das nicht mit deinem $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ .
Aber ja, und da $\begin{eqnarray*} f_n \end{eqnarray*}$ außerdem stets nichtnegativ ist, ist
$\begin{eqnarray*} \lvert f_n(x)-f(x)\rvert=f_n(x)\,. \end{eqnarray*}$
Als nächstes wollen wir $\begin{eqnarray*} \sup_{x\in[0,1]}f_n(x) \end{eqnarray*}$ für beliebiges $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ bestimmen. (geeignete Abschätzungen würden übrigens genügen)
Ist dir jetzt klar, wieso wir das globale Maximum von $\begin{eqnarray*} f_n \end{eqnarray*}$ bestimmt haben? (sieh dir dazu die Beiträge von Guppi12 an)

Deine Extremwertsuche wäre übrigens noch unvollständig, aber wenn du die von mir benutzte Abschätzung verstehst, kannst du stattdessen die benutzen.

26.08.2013, 15:39

Mathelover

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} {\color{red}\lim_{n\to\infty}}{\color{blue}\sup\limits_{x\in [0,1]}}|f_n(\frac{1}{n})|={\color{red}\lim_{n\to\infty}}\frac{n^{\alpha-1}}{2} \end{eqnarray*}$

Da mein supremum ja letztendlich der Wert des globalen Maximums ist oder?

26.08.2013, 15:44

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, denn das Supremum wird hier auch angenommen. Entweder argumentiert man dazu, dass $\begin{eqnarray*} f_n \end{eqnarray*}$ eine stetige Funktion auf einem Kompaktum ist, oder man sieht dies direkt aus meiner Abschätzung.
Kannst du jetzt überprüfen, ob
$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}\sup\limits_{x\in [0,1]}|f_n(x)-f(x)| = 0 \end{eqnarray*}$
gilt?

26.08.2013, 15:57

Mathelover

Auf diesen Beitrag antworten »

Das heißt doch dann aber, dass ich letztendlich das Supremum immer finden muss, um die Definition anzuwenden, sei es mit der Abschätzung oder mit der Extremwertsuche?

Wie soll man sonst auf den Term: $\begin{eqnarray*} \frac{n^{\alpha-1}}{2} \end{eqnarray*}$ kommen?

Ich muss doch hier wieder eine Fallunterscheidung für $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ machen. Nämlich wenn $\begin{eqnarray*} \alpha \in [1;2) \end{eqnarray*}$ liegt dann erhalte ich $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ . Wenn $\begin{eqnarray*} \alpha <1 \end{eqnarray*}$ ist erhalte ich $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ , weil:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}\frac{1}{2*n^{\beta}} = 0 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \beta > 0 \end{eqnarray*}$

Zusammendfassend heißt das:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}\sup\limits_{x\in [0,1]}|f_n(x)-f(x)| = 0 \end{eqnarray*}$

gilt nur für $\begin{eqnarray*} \alpha < 1 \end{eqnarray*}$

Oder laber ich wieder Mist Big Laugh

?

EDIT: habe Mist gelabert.

Also
$\begin{eqnarray*} \begin{cases} & \frac{1}{2}\text{ wenn } \alpha = 1 \\ & 0\text{ wenn } \alpha \neq 1 \end{cases} \end{eqnarray*}$

Jetzt aber?

26.08.2013, 16:06

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Mathelover
Das heißt doch dann aber, dass ich letztendlich das Supremum immer finden muss, um die Definition anzuwenden, sei es mit der Abschätzung oder mit der Extremwertsuche?

Dazu sage ich dir später noch etwas.

Zitat:

Also
$\begin{eqnarray*} \begin{cases} & \frac{1}{2}\text{ wenn } \alpha = 1 \\ & 0\text{ wenn } \alpha \neq 1 \end{cases} \end{eqnarray*}$

Jetzt aber?

Ja, aber was ist mit $\begin{eqnarray*} 1<\alpha<2 \end{eqnarray*}$ ?
Kannst du jetzt aussagen, wann $\begin{eqnarray*} f_n \end{eqnarray*}$ gleichmäßig konvergiert?

26.08.2013, 16:40

Mathelover

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} \begin{cases} & \frac{1}{2}\text{ wenn } \alpha = 1 \\ & 0\text{ wenn } \alpha \neq 1 \\ & \infty\text{ wenn } 1<\alpha <2 \end{cases} \end{eqnarray*}$

Daraus folgt: $\begin{eqnarray*} f_n \end{eqnarray*}$ konvergert gleichmäßig gegen $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ wenn $\begin{eqnarray*} \alpha \in (-\infty;1) \end{eqnarray*}$

Bitte sag mir, dass es jetzt stimmt Big Laugh

26.08.2013, 16:44

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

Keine Sorge, das stimmt.

Und zur Bestimmung des Supremums: Die ist nicht unbedingt nötig.
Wenn man z.B. für $\begin{eqnarray*} \alpha\geq1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \sup_{x\in[0,1]}f_n(x)\geq f_n\left(\frac1n\right) \end{eqnarray*}$
abschätzt, genügt das schon – man muss nicht wissen, dass das Supremum auch dort angenommen wird; das ist auch gar nicht nötig.
Für $\begin{eqnarray*} \alpha<1 \end{eqnarray*}$ genügt wieder
$\begin{eqnarray*} \sup_{x\in[0,1]}f_n(x)\leq\frac{n^{\alpha-1}}2 \end{eqnarray*}$
ohne zu wissen, dass sogar Gleichheit gilt.

26.08.2013, 16:49

Guppi12

Auf diesen Beitrag antworten »

Beachte dazu auch, was ich hier schrieb:

Zitat:

Wenn man also sonst keine Idee hat, sollte man das mal als erstes versuchen, schaden kann es nie. Meistens bekommt man neue Informationen, die weiterhelfen.

Im Allgemeinen macht man es eben anders als die Extremwert zu bestimmen. Nur wenn man wirklich keine Idee hat, wo man anfangen soll, hilft das ganz gut Augenzwinkern

26.08.2013, 17:17

Mathelover

Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank für eure Hilfe, ihr seid echt super smile

Jetzt weiß ich wenigstens, wie man bei der Überpüfung punktweise und gleichmäßig unterscheidet.

Also das mit dem Abschätzen krieg ich nicht hin, ich weiß nicht woran das liegt, vielleicht hab ich das nie so richtig verstanden.
Ich denke in der Klausur werde ich das mit Gruppi's Methode über die Extremwertberechnung machen (wobei man sich da wohl leichter verrechnen kann...)

Außer jemand möchte mir das Abschätzen genau erklären Big Laugh

26.08.2013, 19:33

Mathelover

Auf diesen Beitrag antworten »

In der Musterlösung steht:

Falls $\begin{eqnarray*} \alpha < 2 : (f_n) \end{eqnarray*}$ konvergiert gleichmäßig in $\begin{eqnarray*} [0,1] \Leftrightarrow sup_{x \in [0,1]}|f_n(x)| \to 0 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} n\to \infty \end{eqnarray*}$

Was nach unseren Untersuchungen totaler Mist wäre, oder?

26.08.2013, 19:39

Guppi12

Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, das ist richtig.

Beachte, dass dort nicht steht, dass die $\begin{eqnarray*} f_n \end{eqnarray*}$ gleichmäßig konvergieren. Da steht eigentlich genau das, was ich hier auch geschrieben habe:

Zitat:

Es ist dein $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ genau dann gleichmäßiger Grenzwert der $\begin{eqnarray*} f_n \end{eqnarray*}$ , wenn gilt: $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}\sup\limits_{x\in [0,1]}|f_n(x)-f(x)| = 0 \end{eqnarray*}$

.

Anders ausgedrückt, was dort steht:

Für $\begin{eqnarray*} \alpha < 2 \end{eqnarray*}$ sind folgende Aussagen äquivalent:

(1) $\begin{eqnarray*} (f_n) \end{eqnarray*}$ konvergiert gleichmäßig in $\begin{eqnarray*} [0,1] \end{eqnarray*}$

(2) $\begin{eqnarray*} \sup\limits_{x \in [0,1]}|f_n(x)| \to 0 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} n\to \infty \end{eqnarray*}$

Da Aussage (2) nur gilt, wenn $\begin{eqnarray*} \alpha < 1 \end{eqnarray*}$ ist, gilt auch Aussage (1) nur dann, wenn $\begin{eqnarray*} \alpha<1 \end{eqnarray*}$

26.08.2013, 20:02

Mathelover

Auf diesen Beitrag antworten »

Ahhhhhhhh okay verstehe smile

« vorherige Seite 12

Neue Frage »

Antworten »

Funktionenfolge-Konvergenz - Seite 2

Verwandte Themen