Funktionenfolge-Konvergenz

24.08.2013, 17:43

Mathelover

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Funktionenfolge-Konvergenz

Hallo Freunde,

habe hier wieder einmal ne Konvergenz Aufgabe bezüglich Funktionenfolgen.

Es seien $\begin{eqnarray*} \alpha\in\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f_n:[0,1] \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} f_n(x)=\frac{n^{\alpha}x}{1+n^2x^2} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} (n \in\mathbb{N}) \end{eqnarray*}$ .

Fuer welche Werte von $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$

a) konvergiert $\begin{eqnarray*} (f_n) \end{eqnarray*}$ punktweise in [0,1]?
b) konvergiert $\begin{eqnarray*} (f_n) \end{eqnarray*}$ gleichmäßig in [0,1]?
c) gilt die Beziehung $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}\int_{0}^{1}f_n(x)\ dx=\int_{0}^{1}(\lim_{n\to\infty}f_n(x)))dx? \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:

zu a) ich mach eine Fallunterscheidung mit $\begin{eqnarray*} \alpha \leq1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \alpha >1 \end{eqnarray*}$ und untersuche dann jeweils den Grenzwert?

Wäre das sinnvoll?

24.08.2013, 17:53

Che Netzer

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RE: Funktionenfolge-Konvergenz
Eine Fallunterscheidung ist natürlich sinnvoll, aber wieso lässt du der Eins eine so besondere Bedeutung zukommen? Lass dich nicht von $\begin{eqnarray*} (nx)^2=n^2x^2 \end{eqnarray*}$ auf eine falsche Fährte locken.

Untersuche lieber zunächst nur $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}f_n(x) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x\in[0,1] \end{eqnarray*}$ mit allgemeinem $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ und sieh dann, wie deine Fallunterscheidung aussehen könnte.

24.08.2013, 17:55

Mathelover

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RE: Funktionenfolge-Konvergenz
Achso, okay ich versuchs mal smile

smile

melde mich gleich wieder.

Danke für deine Antwort Che smile

smile

24.08.2013, 18:27

Mathelover

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RE: Funktionenfolge-Konvergenz
Also hab mal was versucht, hoffe das ist richtig so:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty} \frac{n^{\alpha}x}{1+n^2x ^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\lim_{n\to\infty} \frac{n^{\alpha}}{n^2}*\frac{(1+\frac{x}{n^{\alpha}})}{(\frac{1}{n^2}+x ^2)} \end{eqnarray*}$

Jetzt wäre es doch sinnvoll die Fälle:

$\begin{eqnarray*} \alpha < 2 <br /> \alpha = 2<br /> \alpha \geq 2 \end{eqnarray*}$
zu betrachten, oder?

24.08.2013, 18:31

Che Netzer

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RE: Funktionenfolge-Konvergenz
Jein. Statt " $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ " sollte es natürlich " $\begin{eqnarray*} > \end{eqnarray*}$ " heißen. Und mit deinem Zähler stimmt etwas nicht...

24.08.2013, 19:04

Mathelover

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RE: Funktionenfolge-Konvergenz
Ah stimmt, sorry Big Laugh

Big Laugh

Dann ergibt sich für $\begin{eqnarray*} \alpha = 2 \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} f=\begin{cases}<br /> & \frac{1}{x}\text{ wenn } x\neq0 \\ <br /> & 0 \text{ wenn } x= 0<br /> \end{cases}<br /> <br /> \end{eqnarray*}$

für $\begin{eqnarray*} \alpha < 2 \end{eqnarray*}$ :

dann habe ich ja im Nenner immer ein n, also würde die Grenzfunktion gegen 0 konvergieren. Aber ich weiß nicht wie man das mathematisch richtig aufschreibt, kannst du mir bitte einen Tipp geben?

für $\begin{eqnarray*} \alpha > 2 \end{eqnarray*}$ :

Ich würde im Zähler immer ein n enhalten und somit würde die Grenzfunktion divergieren.
Das selbe Problem: wie schreib ich das mathematisch auf?

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24.08.2013, 19:28

Che Netzer

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RE: Funktionenfolge-Konvergenz
Du kannst ganz wunderbar $\begin{eqnarray*} f_n(x)=\frac{n^{\alpha-2}x}{\frac1{n^2}+x^2} \end{eqnarray*}$ schreiben.
Der Nenner geht immer gegen $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ , im Zähler hast du mehrere Fälle zu unterscheiden, die in dieser Darstellung wohl leichter zu behandeln sind.

Beachte auch den Fall $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ .

24.08.2013, 20:05

Mathelover

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RE: Funktionenfolge-Konvergenz
Für $\begin{eqnarray*} \alpha < 2 : f(x) : = \lim_{n \to \infty} f_n(x) = 0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x \in [0,1] \end{eqnarray*}$

weil:

$\begin{eqnarray*} f_n(x)=\frac{n^{\alpha-2}x}{\frac1{n^2}+x^2}=f_n(x)=\frac{n^{\beta}x}{\frac1{n^2}+x^2} \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} \beta < 0 \end{eqnarray*}$

Für $\begin{eqnarray*} \alpha > 2 : f(x) : = \lim_{n \to \infty} f_n(x) = \infty \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x \in [0,1] \end{eqnarray*}$

weil:

$\begin{eqnarray*} f_n(x)=\frac{n^{\alpha-2}x}{\frac1{n^2}+x^2}=f_n(x)=\frac{n^{\beta}x}{\frac1{n^2}+x^2} \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} \beta > 0 \end{eqnarray*}$

Daraus folgt doch:

$\begin{eqnarray*} \alpha < 0 \end{eqnarray*}$ : punktweise konvergent
$\begin{eqnarray*} \alpha = 0 \end{eqnarray*}$ : punktweise konvergent
$\begin{eqnarray*} \alpha > 0 \end{eqnarray*}$ : nicht punktweise konvergent

richtig so, Che?

24.08.2013, 21:14

Che Netzer

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RE: Funktionenfolge-Konvergenz
Naja... Unten meinst du Zwei statt Null. Und für $\begin{eqnarray*} \alpha>2 \end{eqnarray*}$ divergiert $\begin{eqnarray*} f_n(x) \end{eqnarray*}$ nicht für alle $\begin{eqnarray*} x\in[0,1] \end{eqnarray*}$ .
Aber ja, der Rest stimmt.

24.08.2013, 22:33

Mathelover

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RE: Funktionenfolge-Konvergenz
Okay cool danke sehr smile

smile

Wie zeig jetzt die gleichmäßige Konvergenz, also b)
?

24.08.2013, 22:42

Che Netzer

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RE: Funktionenfolge-Konvergenz
Du sollst sie ja nicht zeigen, sondern überprüfen, ob sie vorliegt.
Am einfachsten ist da natürlich der Fall $\begin{eqnarray*} \alpha>2 \end{eqnarray*}$ Augenzwinkern

Augenzwinkern

24.08.2013, 22:44

Mathelover

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RE: Funktionenfolge-Konvergenz
Okay, aber welche Bedingung muss den erfüllt sein, damit eine gleichmäßige Konvergenz vorliegt?

Mir fällt da nur das ein: $\begin{eqnarray*} |f_n(x)-f(x)|<\epsilon \end{eqnarray*}$

24.08.2013, 23:15

Che Netzer

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RE: Funktionenfolge-Konvergenz
Zunächst einmal: Was ist denn $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ? Was muss erst gelten, damit gleichmäßige Konvergenz überhaupt vorliegen könnte?
Wieso ist der Fall $\begin{eqnarray*} \alpha>2 \end{eqnarray*}$ dann so einfach zu behandeln?

24.08.2013, 23:19

Mathelover

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RE: Funktionenfolge-Konvergenz
$\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist die Grenzfunktion.
Damit gleichmäßige Konvergenz vorliegen kann, muss erst einmal die punktweise Konvergenz vorliegen, weil sich ja die gleichmäßige Konvergenz von der punktweisen Konvergenz nur darin unterscheidet, dass das in der punktweisen Konvergenz vorkommende $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ nicht von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ abhängt (was ich bis heute immernoch nicht verstanden habe)

Deswegen ist der Fall $\begin{eqnarray*} \alpha > 2 \end{eqnarray*}$ am einfachsten, weil dieser Fall ja nicht einmal punktweise konvergent ist.

//Edit:

Für $\begin{eqnarray*} \alpha>2 \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} f_n(x) \end{eqnarray*}$ nicht punktweise konvergent, also auch nicht gleichmäßig konvergent.
Für $\begin{eqnarray*} \alpha<2 \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} f_n(x) \end{eqnarray*}$ gleichmäßig konvergent??? (wenn ja, warum, woran erkenn ich das?)

24.08.2013, 23:56

Guppi12

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Ich übernehme mal, da Che wohl gerade nicht da ist und ich vom Fragesteller darum gebeten wurde. Wenn du wieder da bist, kannst du gerne wieder übernehmen, Che Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zitat:

(was ich bis heute immernoch nicht verstanden habe)

Zuerst einmal hierzu etwas um das grundlegende Verständnis zu erhöhen:

Der Gedanke hinter der gleichmäßigen Konvergenz ist folgender:
Schritt 1: Ich möchte mir eine kleine Zahl vorgeben können.
Schritt 2: Dann möchte ich, dass meine Funktionenfolge ab einem bestimmten Index nur noch um weniger als diese Zahl von der Grenzfunktion abweicht und zwar insgesamt, also als ganze Funktion und nicht nur in den meisten Punkten.

Das heißt, dass die Grenzfunktion ab diesem Index schon sehr gut durch die Folgeglieder hinter diesem Index angenähert werden kann.

DAS habe ich bei punktweiser Konvergenz nicht unbedingt. Hier kann es passieren, dass die Annäherung der Funktion in bestimmten Punkten immernoch sehr schlecht ist, obwohl ich mein Funktionsfolgenglied so weit hinten wählen kann, wie ich will. Bei nicht gleichmäßiger Konvergenz konvergiert die Funktionenfolge in bestimmten Punkten beliebig langsam gegen den Grenzwert. Ich kann hier also nicht einfach ein weit hinten liegendes Folgenglied nehmen und eine gute Annäherung auf dem ganzen Definitionsbereich erwarten.

Zitat:

Für $\begin{eqnarray*} \alpha>2 \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} f_n(x) \end{eqnarray*}$ nicht punktweise konvergent, also auch nicht gleichmäßig konvergent.

Ja.

Zitat:

Für $\begin{eqnarray*} \alpha<2 \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} f_n(x) \end{eqnarray*}$ gleichmäßig konvergent??? (wenn ja, warum, woran erkenn ich das?)

Nein, das ist nicht richtig.

Magst du mal angeben, wie die Grenzfunktion hier aussieht?

Du kannst übrigens hier $\begin{eqnarray*} \alpha=2 \end{eqnarray*}$ gleich mit abdecken. Das müsstest du wenn du $\begin{eqnarray*} \alpha<2 \end{eqnarray*}$ betrachtest nochmal gesondert angucken.

Edit: Sorry, $\begin{eqnarray*} \alpha=2 \end{eqnarray*}$ musst du sowieso gesondern betrachten, weil die Grenzfunktion hier anders aussieht.

25.08.2013, 00:09

Mathelover

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Vielen Dank für den theoretischen Teil Gruppi12.

Also die Grenzfunktion lautet ja:

$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{ \frac{1}{n^\alpha}*x}{x^2}=\frac{ \frac{1}{n^\alpha}}{x}=\frac{ 1}{n^{\alpha}*x} \end{eqnarray*}$

Oder?

25.08.2013, 00:11

Guppi12

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Nein, ein $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ kann in der Grenzfunktion nicht mehr vorkommen, die Grenzfunktion hängt ja nicht von $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ ab. Wie bist du zu dieser Funktion gekommen?

25.08.2013, 00:14

Mathelover

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Achso, dann ist die Grenzfunktion aber = 0.

Also $\begin{eqnarray*} f \equiv 0 \end{eqnarray*}$

25.08.2013, 00:17

Guppi12

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Für $\begin{eqnarray*} \alpha < 2 \end{eqnarray*}$ stimmt das. Was ist mit $\begin{eqnarray*} \alpha=2 \end{eqnarray*}$ (Ich denke wir sollten diesen Fall mal als erstes machen).

25.08.2013, 00:19

Mathelover

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Okay gerne.
Für den Fall $\begin{eqnarray*} \alpha = 0 \end{eqnarray*}$ ergibt sich folgende Grenzfunktion:

$\begin{eqnarray*} f=\begin{cases}<br /> & \frac{1}{x}\text{ wenn } x\neq0 \\ <br /> & 0 \text{ wenn } x= 0<br /> \end{cases}<br /> <br /> \end{eqnarray*}$

25.08.2013, 00:21

Guppi12

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Du meinst $\begin{eqnarray*} \alpha=2 \end{eqnarray*}$ Augenzwinkern

Augenzwinkern

Aber ja, das stimmt. Diese Funktion ist nicht stetig. Kann das sein, wenn die Funktionenfolge gleichmäßig konvergieren würde?

25.08.2013, 00:23

Mathelover

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Damit die Funktionenfolge gleichmäßig konvergieren kann, muss sie ja stetig sein Big Laugh

Big Laugh

Also nein sie kann nicht gleichmäßig konvergieren.

25.08.2013, 00:26

Guppi12

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Hmm, dass überzeugt mich noch nicht, wie meinst du das genau. Die Funktionenfolge kann nicht stetig oder nicht stetig sein, das ist ja eine Folge. Wenn du ihre Folgenglieder, also die f_n meinst, so sind diese ja alle stetig. Was meinst du also genau?

25.08.2013, 00:31

Mathelover

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Ich meine damit, dass die Grenzfunktion also $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ stetig sein muss, damit $\begin{eqnarray*} f_n \end{eqnarray*}$ gleichmäßig konvergieren kann.

Das stimmt doch oder?

//Edit: Satz:
Konvergiert eine Funktionenfolge $\begin{eqnarray*} (f_n)_{n\in\mathbb{N}} \end{eqnarray*}$ gleichmäßig gegen eine Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ , so ist dieser wieder stetig.

Aber unser $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist ja hier nicht stetig.

25.08.2013, 00:35

Guppi12

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So stimmt das noch nicht.

Ich kann mir ja zum Beispiel folgende Funktionenfolge ausdenken:

$\begin{eqnarray*} f_n:[0,1]\to\mathbb R, x\mapsto\begin{cases}0~\text{ falls x=0} \\ \frac{1}{x}~\text{ sonst}\end{cases} \end{eqnarray*}$

für alle $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$

Diese Funktionenfolge ist konstant. Sie konvergiert also gleichmäßig und zwar gegen eine nicht stetige Funktion(nämlich genau das gleiche $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ , wie bei dir).

Was ist hier anders?

Edit: Der von dir zitierte Satz stimmt so nicht, siehe mein Gegenbeispiel. Du hast da bestimmt etwas in der Voraussetzung übersehen.

25.08.2013, 00:41

Mathelover

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In deinem Gegenbeispiel enthält die Funktionenfolge aber keine stetigen Funktionen.

//Edit:

Ja in der Tat, der Satz sollte so lauten:
Konvergiert eine Funktionenfolge $\begin{eqnarray*} (f_n)_{n\in\mathbb{N}} \end{eqnarray*}$ stetiger Funktionen gleichmäßig gegen eine Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ , so ist dieser wieder stetig.

25.08.2013, 00:49

Guppi12

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Ja genau. Und damit sind wir für $\begin{eqnarray*} \alpha=2 \end{eqnarray*}$ nun fertig. Die Begründung hast du damit ja geliefert.

Also zu $\begin{eqnarray*} \alpha < 2 \end{eqnarray*}$ . Ich gebe mal den Tipp, nochmal zu unterscheiden mit

$\begin{eqnarray*} 1 \leq \alpha < 2 \end{eqnarray*}$ und das was dann noch übrig bleibt. Welche Definitionen von gleichmäßiger Konvergenz sind dir bekannt? Kennst du die, die das Supremum über die Differenz der Funktionsfolge mit dem Grenzwert beinhaltet?

25.08.2013, 00:54

Mathelover

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Das heißt also, für $\begin{eqnarray*} \alpha = 2 \end{eqnarray*}$ kann $\begin{eqnarray*} f_n \end{eqnarray*}$ nicht gleichmäßig konvergent sein, weil seine Grenzfunktion nicht stetig ist.

Nein die Definition kenn ich leider nicht.

25.08.2013, 01:00

Guppi12

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Zitat:

Das heißt also, für $\begin{eqnarray*} \alpha = 2 \end{eqnarray*}$ kann $\begin{eqnarray*} f_n \end{eqnarray*}$ nicht gleichmäßig konvergent sein, weil seine Grenzfunktion nicht stetig ist.

und die $\begin{eqnarray*} f_n \end{eqnarray*}$ selber aber alle stetig sind, ja genau.

Zitat:

Nein die Definition kenn ich leider nicht.

Ich schreibe sie dir hier einmal auf, aber wenn sie dir nicht geläufig ist, sollten wir danach trotzdem den Weg mit der dir bekannten Defintion gehen.

Es ist dein $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ genau dann gleichmäßiger Grenzwert der $\begin{eqnarray*} f_n \end{eqnarray*}$ , wenn gilt:
$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}\sup\limits_{x\in [0,1]}|f_n(x)-f(x)| = 0 \end{eqnarray*}$

Das dann aber nur nebenbei.

Hast du denn eine Vermutung, ob für $\begin{eqnarray*} 1\leq\alpha < 2 \end{eqnarray*}$ glm. Konvergenz vorliegt?

25.08.2013, 01:11

Mathelover

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Okay danke für die Definition.

Ich hab leider keine Vermutung, weil ich nicht weiß in welche Richtung ich denken soll, bzw. wie ich denken soll Big Laugh

Big Laugh

EDIT: Aber wenn wir deine Definition verwenden, dann ist doch die Bedingung erfüllt.

Es gilt ja $\begin{eqnarray*} f \equiv 0 \end{eqnarray*}$ , dann gilt:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}\sup\limits_{x\in [0,1]}|f_n(x)-f(x)| =|f_n(x)-0|=|f_n(x)|\rightarrow 0 \end{eqnarray*}$

25.08.2013, 01:18

Guppi12

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Ok, also wenn man keine Idee hat, kann man einfach mal gucken, ob $\begin{eqnarray*} f_n-f \end{eqnarray*}$ (das ist dann eine Funktionsschar, ach wie herrlich, Erinnerungen aus der Schule Big Laugh

Big Laugh

) vielleicht ein Maximum hat.

Warum macht man das?

Nun, wenn man herausbekommt, dass $\begin{eqnarray*} f_n-f \end{eqnarray*}$ ein Maximum hat(das vielleicht von $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ abhängen mag), dann kann man diese Maximumsstelle mal in $\begin{eqnarray*} f_n-f \end{eqnarray*}$ einsetzen. Jetzt könnten einige Sachen passieren:

Mal ein Beispiel: findet man heraus, dass $\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ globale Maximumsstelle von $\begin{eqnarray*} f_n-f \end{eqnarray*}$ ist, und man erhält beispielsweise für alle $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ die Identität $\begin{eqnarray*} f_n(x_n)-f(x_n)=\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ , so hilft das enorm weiter, denn dann kann man $\begin{eqnarray*} |f_n(x)-f(x)| \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ nach oben abschätzen.

Wenn man also sonst keine Idee hat, sollte man das mal als erstes versuchen, schaden kann es nie. Meistens bekommt man neue Informationen, die weiterhelfen.

Zu deinem Edit: Da hast du am Ende das Supremum unterschlagen Augenzwinkern

Augenzwinkern

Das kannst du nicht einfach weglassen.

25.08.2013, 01:26

Mathelover

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Was bringt mir dann aber diese Abschätzung nach oben bezüglich der gleichmäßigen Konvergenz?
Kann ich dann etwa meine globale Maximumstelle als $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ wählen und folgern, dass es ein $\begin{eqnarray*} \epsilon >0 \end{eqnarray*}$ existiert für das die Ungleichung $\begin{eqnarray*} |f_n-f|<\epsilon \end{eqnarray*}$ erfüllt ist?

25.08.2013, 01:31

Guppi12

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Das kommt eben darauf an, wie der Funktionswert an der Maximumsstelle aussieht, deswegen solltest du das mal machen Augenzwinkern

Augenzwinkern

Auf jedenfall bekommst du aber, dass für alle $\begin{eqnarray*} x\in [0,1] \end{eqnarray*}$ dann gilt: $\begin{eqnarray*} f_n(x)-f(x) \leq f_n(x_n)-f(x_n) \end{eqnarray*}$ .

Ist $\begin{eqnarray*} f_n(x_n)-f(x_n) \end{eqnarray*}$ also eine Nullfolge, hat man gewonnen(dazu kommen wir noch, wie man das dann genau macht), alles Schritt für Schritt.

25.08.2013, 01:34

Mathelover

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Okay aber wie bekomm ich denn meine Maximumstelle heraus, welche ich dann einsetzen kann?

25.08.2013, 01:39

Guppi12

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Komm schon, das ist Schulanalysis Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ableiten und Ableitung null setzen. Dabei nicht durcheinanderkommen. Es wird nach x abgeleitet.

Man kann das ganze übrigens vermischen mit Unianalysis:
Da [0,1] kompakt und die f_n stetig, nehmen sie ihr Maximum definitiv als Funktionswert an. Wenn du also nur eine einzige Nullstelle der Ableitung bekommst und weißt, dass die Funktion an den Rändern kleiner ist, als an der Nullstelle der Ableitung, weißt du schon, dass dies eine globale Maximumsstelle sein muss.

Diese Tatsache ist hier speziell gut anwendbar.

25.08.2013, 01:52

Mathelover

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Ehm

Big Laugh

ich bin grad durcheinander Big Laugh

Big Laugh

Also ich muss doch diese Funktion ableiten und 0 setzen oder?

$\begin{eqnarray*} f_n(x)=\frac{n^{\alpha-2}x}{\frac1{n^2}+x^2}=\frac{\frac{1}{n^{\beta}}*x}{\frac1{n^2}+x^2} \end{eqnarray*}$

25.08.2013, 01:57

Guppi12

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Nach dem ersten Gleichheitszeichen steht noch f_n da. Nach dem zweiten genau dann, wenn $\begin{eqnarray*} \beta = 2-\alpha \end{eqnarray*}$ . (was wohl so gedacht war Big Laugh

Big Laugh

)

Also ja!

Die Umformung mach das Differenzieren übrigens nicht unbedingt einfacher (auch nicht schwerer).

25.08.2013, 02:06

Mathelover

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Entweder ist es gerade ziemlich spät, oder ich bin zu dumm fürs Differenzieren Big Laugh

Big Laugh

25.08.2013, 02:09

Guppi12

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Wollen wir es sonst erstmal gut sein lassen für heute?
Ich bin auch schon etwas müde. Morgen dann mit neuer Frische weiter ?

25.08.2013, 02:10

Mathelover

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Jop, wäre auch dafür Freude

Freude

Super vielen Dank für deine Hilfe Gruppi12 smile

smile

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