Ungerade Funktion tanh(x)

24.08.2013, 18:38

JohnDorian

Ungerade Funktion tanh(x)

Meine Frage:
Hallo liebes Board,
ich wollte einmal nachfragen ob meine Lösungsgedanken richtig sind. Leider habe ich für folgende Aufgabe keine Lösung und wollte es deshalb einfach einmal überprüfen lassen.

Die Aufgabe besteht daraus zu zeigen, dass tanh(x) eine ungerade Funktion ist, also dass gilt:
tanh(-x) = -tanh (x)

Meine Ideen:
Es gilt:
tanh (x) = $\begin{eqnarray*} \frac{e^{x} -e^{-x} }{e^{x} +e^{-x} } \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} ln ( e^{(\frac{e^{x} -e^{-x} }{e^{x} +e^{-x} } )} \end{eqnarray*}$

tanh (-x) = $\begin{eqnarray*} \frac{e^{-x} -e^{x} }{e^{-x} +e^{x} } \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} ln ( e^{(\frac{e^{-x} -e^{x} }{e^{-x} +e^{x} } )} \end{eqnarray*}$

-tanh (x) = $\begin{eqnarray*} (-1) *ln ( e^{(\frac{e^{x} -e^{-x} }{e^{x} +e^{-x} } )} = ln ( e^{(\frac{e^{x} -e^{-x} }{e^{x} +e^{-x} } )^{-1}} ) = ln ( e^{(\frac{e^{-x} -e^{x} }{e^{-x} +e^{x} } )} ) = \frac{e^{-x} -e^{x} }{e^{-x} +e^{x} } = tanh (-x) \end{eqnarray*}$

Ist das soweit korrekt?
Danke für eure Mühen.

24.08.2013, 18:42

Che Netzer

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RE: Ungerade Funktion tanh(x)

Zitat:

tanh (x) = $\begin{eqnarray*} \frac{e^{x} -e^{-x} }{e^{x} +e^{-x} } \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} ln ( e^{(\frac{e^{x} -e^{-x} }{e^{x} +e^{-x} } )} \end{eqnarray*}$

Wieso bastelst du da einen Logarithmus rein?
Nutze das Kommutativgesetz (was ja wohl klar ist) und klammer im Zähler ein Minus aus.

24.08.2013, 19:04

JohnDorian

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RE: Ungerade Funktion tanh(x)

Zitat:

Original von Che Netzer

Zitat:

tanh (x) = $\begin{eqnarray*} \frac{e^{x} -e^{-x} }{e^{x} +e^{-x} } \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} ln ( e^{(\frac{e^{x} -e^{-x} }{e^{x} +e^{-x} } )} \end{eqnarray*}$

Wieso bastelst du da einen Logarithmus rein?
Nutze das Kommutativgesetz (was ja wohl klar ist) und klammer im Zähler ein Minus aus.

Das Gesetz kenne ich natürlich, wie es in diesem Fall Anwendung finden soll weiß ich aber momentan nicht. verwirrt

Kannst du mir auf die Sprünge helfen?

24.08.2013, 19:30

Che Netzer

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RE: Ungerade Funktion tanh(x)
Es geht doch nur noch darum,
$\begin{eqnarray*} \frac{\mathrm e^x-\mathrm e^{-x}}{\mathrm e^x+\mathrm e^{-x}}=-\frac{\mathrm e^{-x}-\mathrm e^x}{\mathrm e^{-x}+\mathrm e^x} \end{eqnarray*}$
zu "beweisen", oder?
Dann kannst du ja mal auf der rechten Seite das Minus in den Zähler schieben.

24.08.2013, 21:20

JohnDorian

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Tatsache, dann wird auch deutlich was du mit dem Kommutativgesetz meintest Augenzwinkern

Meint ihr, dass sowas als Nachweis ausreichend ist, wenn keine anderen Informationen gegeben sind?

24.08.2013, 21:41

Che Netzer

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Wenn die Gleichung
$\begin{eqnarray*} \tanh x=\frac{\mathrm e^x-\mathrm e^{-x}}{\mathrm e^x+\mathrm e^{-x}} \end{eqnarray*}$
bekannt ist und nicht wieder irgendwelche willkürlichen geheimen Anforderungen gestellt werden, dann genügt das so Augenzwinkern

Was für andere Informationen meinst du eigentlich?

25.08.2013, 11:28

JohnDorian

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Wenn jetzt beispielsweise nicht explizit der Weg über Logarithmusgesetze o.ä vorgeschlagen wird. Sondern einfach dabei steht:
Zeigen sie aus den definierten Gleichungen, dass tanh (-x) = -tanh (x) ist.

So lautete nämlich exakt die Aufgabe. smile

25.08.2013, 11:38

Che Netzer

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Und welche "definierten" Gleichungen sollen da gemeint sein? verwirrt

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