Abschätzen mit Mittelwertsatz

24.08.2013, 19:26

ber

Abschätzen mit Mittelwertsatz

Meine Frage:
Für die Funktion f gelte $\begin{eqnarray*} f(0)=3 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 4/5 < f'(x) < 1 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} -4<x<8 \end{eqnarray*}$ . Man schätze mit Hilfe des Mittelwertsatzes nach unten und nach oben ab: $\begin{eqnarray*} f(2) \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Ich stehe hier leider wirklich komplett an.

Der Mittelwertsatz der Diff. lautet ja, wenn f in x differenzierbar für alle x mit a<x<b, dann gibt es ein c mit a<c<b und $\begin{eqnarray*} \frac{f(b)-f(a)}{(b-a)} = f'(c) \end{eqnarray*}$ .

Nun sind, denke ich, in diesem Fall $\begin{eqnarray*} a=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b=2 \end{eqnarray*}$ woraus sich ergibt $\begin{eqnarray*} \frac{f(2)-f(0)}{2} = f'(c) \end{eqnarray*}$ .

Wie soll ich hier weiter vorgehen?

24.08.2013, 20:06

magic_hero

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Abschätzen mit Mittelwertsatz

Zitat:

Original von ber
Nun sind, denke ich, in diesem Fall $\begin{eqnarray*} a=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b=2 \end{eqnarray*}$ woraus sich ergibt $\begin{eqnarray*} \frac{f(2)-f(0)}{2} = f'(c) \end{eqnarray*}$ .

Wie soll ich hier weiter vorgehen?

f(0) ist gegeben, das kannst du nun hier einsetzen. Dann überleg dir bitte noch, was für c gelten sollte (das ist zwar für die Aufgabe nicht elementar wichtig, aber man sollte sich das trotzdem immer bewusst machen).

Schließlich kannst du die Gleichung ja noch nach f(2) auflösen und dann die Abschätzung für f', die gegeben ist, einsetzen.

24.08.2013, 20:48

Ber

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Abschätzen mit Mittelwertsatz
Vielen Dank, ist ja im Grunde nicht so schwierig. Dann ist $\begin{eqnarray*} f(2)=2f'(c)+3 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 4,6<f(2)<5 \end{eqnarray*}$ , richtig?

Meinst du für c, dass die Funktion im Intervall [a,b] definiert und stetig sein muss?

Oder dass wenn $\begin{eqnarray*} f(a)=f(b) \end{eqnarray*}$ es ein $\begin{eqnarray*} c \in (a,b) \end{eqnarray*}$ gibt mit $\begin{eqnarray*} f'(c)=0 \end{eqnarray*}$ ? Aber das müsste für c ja hier gerade nicht gelten verwirrt

24.08.2013, 21:07

magic_hero

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Abschätzen mit Mittelwertsatz

Zitat:

Original von Ber
Vielen Dank, ist ja im Grunde nicht so schwierig. Dann ist $\begin{eqnarray*} f(2)=2f'(c)+3 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 4,6<f(2)<5 \end{eqnarray*}$ , richtig?

Korrekt.

Zitat:

Original von Ber
Meinst du für c, dass die Funktion im Intervall [a,b] definiert und stetig sein muss?

Sie muss ja sogar differenzierbar sein. Aber so meinte ich das nicht (wobei man so etwas in einem Beweis dazu schreiben sollte - also, dass die Bedinungen des angewendeten Satzes erfüllt sind).

Zitat:

Original von Ber
Oder dass wenn $\begin{eqnarray*} f(a)=f(b) \end{eqnarray*}$ es ein $\begin{eqnarray*} c \in (a,b) \end{eqnarray*}$ gibt mit $\begin{eqnarray*} f'(c)=0 \end{eqnarray*}$ ? Aber das müsste für c ja hier gerade nicht gelten verwirrt

Nein, auch das nicht. Du hast ja in deinem ersten Beitrag bereits die Formulierung des MWS angegeben. Da steht auch genau, was für c gelten muss.

Neue Frage »

Antworten »

Abschätzen mit Mittelwertsatz

Verwandte Themen