Konvergenzkriterien für unendliche Reihen

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küb Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenzkriterien für unendliche Reihen
Meine Frage:
Hey Leute,

bearbeite gerade einige Aufgaben und wollte euch mal um Hilfe bitten:

Ich soll z.B. folgende Reihe auf Konvergenz untersuchen ( die Summe der Reihe braucht nicht berechnet werden).



Ich wollte erst einmal die notwendige Bedingung für Konvergenz untersuchen: Der Grenzwert soll 0 sein.

Also:

Jetzt war ich mir wegen dem sin(k) nicht sicher.. Kann ich gleich von Anfang an feststellen, dass die Reihe divergiert, weil sin(k) divergent ist?

Meine Ideen:
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenzkriterien für unendliche Reihen
Zitat:
Original von küb
Ich wollte erst einmal die notwendige Bedingung für Konvergenz untersuchen: Der Grenzwert soll 0 sein.

Welcher Grenzwert soll (existieren und) Null sein?

Zitat:
Jetzt war ich mir wegen dem sin(k) nicht sicher.. Kann ich gleich von Anfang an feststellen, dass die Reihe divergiert, weil sin(k) divergent ist?

Nein, konvergiert ja auch, obwohl der Zähler divergiert.
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, das kannst du nicht. Die notwendige Bedingung ist hier auch durchaus erfüllt (betrachte einmal den Betrag der Folge und schätze geeignet ab).
küb Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenzkriterien für unendliche Reihen
Zitat:
Welcher Grenzwert soll (existieren und) Null sein?




Zitat:
betrachte einmal den Betrag der Folge und schätze geeignet ab


Ich habe mir das jetzt mal so angeschaut:



weil: und

Jetzt ist die notwendige Bedingung erfüllt, aber ich weiß nicht, welches Kriterium (Leibniz-, Majoranten-, Minoranten- oder Quotientenkriterium) ich anwenden soll, um sicher zu zeigen, dass die Reihe konvergiert.. unglücklich
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenzkriterien für unendliche Reihen
Zitat:
Original von küb

Und was ist ? Teufel

Zitat:
Jetzt ist die notwendige Bedingung erfüllt

Das zu zeigen, nützt dir übrigens nichts, wenn du Konvergenz nachweisen möchtest

Zitat:
aber ich weiß nicht, welches Kriterium (Leibniz-, Majoranten-, Minoranten- oder Quotientenkriterium) ich anwenden soll, um sicher zu zeigen, dass die Reihe konvergiert.. unglücklich

Das Quotientenkriterium versagt bei solchen Reihen grundsätzlich, d.h. bei Reihen, deren Summanden gebrochenrational im Laufindex sind – der Sinus ändert daran nichts.
Das Minorantenkriterium kann nur Divergenz nachweisen. Wenn du schon Konvergenz vermutest, steht das nicht in der engeren Auswahl.
Zum Leibniz-Kriterium: Kann der Summand denn jemals negativ werden?
küb Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenzkriterien für unendliche Reihen
Zitat:
Und was ist ? Teufel




Zitat:
Das zu zeigen, nützt dir übrigens nichts, wenn du Konvergenz nachweisen möchtest


Naja, wenn sie nicht erfüllt wäre, dann hätte ich ja nicht weitermachen müssen Big Laugh


Zitat:
Zum Leibniz-Kriterium: Kann der Summand denn jemals negativ werden?


Wieso ist es von Bedeutung beim Leibniz-Kriterium, dass der Summand jemals nagativ wird?
Das Leibnizkriterium besagt doch nur, dass eine Reihe konvergiert, wenn es eine monotone Nullfolge ist..



Dann bleibt ja nur noch das Majorantenkriterium übrig.. Mein Problem besteht immer darin, dass ich nicht weiß, wie ich eine weitere Reihe finde, mit der ich dann meine vergleichen kann und dann daraus schlussfolgern kann, ob sie konvergent ist oder nicht..
 
 
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenzkriterien für unendliche Reihen
Zitat:
Original von küb
Das Leibnizkriterium besagt doch nur, dass eine Reihe konvergiert, wenn es eine monotone Nullfolge ist..

Was ist denn "es"? Das klingt aber, als hättest du das Leibniz-Kriterium missverstanden.

Zitat:
Mein Problem besteht immer darin, dass ich nicht weiß, wie ich eine weitere Reihe finde, mit der ich dann meine vergleichen kann und dann daraus schlussfolgern kann, ob sie konvergent ist oder nicht..

Dazu muss man ein wenig ausprobieren oder etwas Erfahrung haben.
Gute Majoranten wären

für . Versuch einfach mal ein paar Abschätzungen.
küb Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenzkriterien für unendliche Reihen
Zitat:
Was ist denn "es"? Das klingt aber, als hättest du das Leibniz-Kriterium missverstanden.


Könnte sein.. Ich hab stehen "Sei eine monotone Nullfolge. Dann konvergiert "

Jetzt habe ich z.B. eine Aufgabe damit gelöst: (also wieder Konvergenzuntersuchung)



und ist monoton fallend. Also konvergiert die Reihe.
Wobei mir nicht wirklich klar ist, wieso man immer schreibt:

Zitat:
Dazu muss man ein wenig ausprobieren oder etwas Erfahrung haben.


Ich versuch's mal..
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenzkriterien für unendliche Reihen
Zitat:
Original von küb
Könnte sein.. Ich hab stehen "Sei eine monotone Nullfolge. Dann konvergiert "

Die Formulierung ist falsch. Die Reihe konvergiert dann (womit dann auch die genannte Anwendung möglich ist).

Zitat:
Wobei mir nicht wirklich klar ist, wieso man immer schreibt:

Wieso in den Aufgaben steht? Damit derjenige, der die Aufgabe lösen soll, nochmal wiederholen kann und nicht sofort sieht, dass der Faktor auftaucht und dass man wohl das Leibniz-Kriterium benutzen kann.
Oder was meinst du?
küb Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenzkriterien für unendliche Reihen
Zitat:
Die Formulierung ist falsch. Die Reihe konvergiert dann (womit dann auch die genannte Anwendung möglich ist).


Du hast Recht, ich hab es falsch in meinen Aufzeichnungen gehabt..

Zitat:
Damit derjenige, der die Aufgabe lösen soll, nochmal wiederholen kann.


Achso, dass ist, muss ich also wissen.. Wie kommt man darauf?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenzkriterien für unendliche Reihen
Das hängt davon ab, was du bisher über den Cosinus weißt. Steht sicher auch irgendwo in deinen Materialien.
Diese Werte sollte man sich aber unbedingt merken.
küb Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenzkriterien für unendliche Reihen
Okay.

Zurück zu der Aufgabe Big Laugh

Ich muss jetzt irgendwie so vergrößern, dass die vergrößerte Form eine bekannte konvergente Reihe ist, oder?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenzkriterien für unendliche Reihen
So, dass die Reihe über den vergrößerten Term konvergiert.
küb Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenzkriterien für unendliche Reihen
Jup..

Kannst du mir einen Tipp geben?
Kann ich das sin(k) nicht irgendwie loswerden? Bzw. muss ich das überhaupt?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenzkriterien für unendliche Reihen
Den Sinus loszuwerden, wäre tatsächlich hilfreich. Wogegen kannst du den denn abschätzen?
küb Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenzkriterien für unendliche Reihen
Ich verstehe irgendwie nicht, was mit dem "abschätzen" gemeint ist.. Also allgemein.. Muss ich einen Term finden, der dem Sinus ähnelt oder wie?
bijektion Auf diesen Beitrag antworten »

Schätze mit dem größten Wert ab, den der Sinus annehmen kann.
küb Auf diesen Beitrag antworten »

Der größte Wert, den Sinus annehmen kann, ist 1.

bijektion Auf diesen Beitrag antworten »

Schätze nun weiter ab und wähle eine geeignete Majorante.
küb Auf diesen Beitrag antworten »

Wie funktioniert denn das mit dem Abschätzen? Ich verstehe gar nicht, wie man einfach irgendwas durch etwas anderem ersetzen kann..

Kann ich jetzt statt einfach schreiben.. ?
bijektion Auf diesen Beitrag antworten »

Dein x heißt ja eigentlich k.

Dann könne wir abschätzen , da ja . Jetzt musst du gucken wie du nach oben abschätzt.
Z.B. könntest du zuerst heraus nehmen.

EDIT: Abschätzen bedeutet, dass du zu einem gegebenen Ausdruck einen anderen findest, der bestimmt größer ist. Dadurch kommst du in diesem Fall zu einer Reihe, von der du weißt das sie konvergiert (wie Che Netzer es bereits geschrieben hatte).
küb Auf diesen Beitrag antworten »

Kann ich schreiben

?
bijektion Auf diesen Beitrag antworten »

Ja.
küb Auf diesen Beitrag antworten »

Und da nicht < ist, ist meine Reihe nicht konvergent?

Edit: Achso nein, da konvergent ist und größer als meine Reihe, ist meine Reihe auch konvergent.
bijektion Auf diesen Beitrag antworten »

. Da konvergiert, hast du eine konvergente Majorante gefunden.
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Wurde hier

gerechnet? verwirrt
küb Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, ist das falsch? geschockt
bijektion Auf diesen Beitrag antworten »

Also so meinte ich das nicht..
küb Auf diesen Beitrag antworten »

Haben wir nicht zu abgeschätzt?
bijektion Auf diesen Beitrag antworten »

bijektion Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von küb
Haben wir nicht zu abgeschätzt?


Hier muss ich mich entschuldigen, ich habe das +1 im Nenner übersehen, das darf da nicht sein..
küb Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:


Achso.. Ich glaube ich hab jetzt verstanden, wie das mit dem Abschätzen geht..
Hoffentlich schaff ich das bei den nächsten Aufgaben auch alleine ^^'

Aber danke an euch beiden Big Laugh
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