Konvergenzkriterien für unendliche Reihen |
25.08.2013, 14:24 | küb | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Konvergenzkriterien für unendliche Reihen Hey Leute, bearbeite gerade einige Aufgaben und wollte euch mal um Hilfe bitten: Ich soll z.B. folgende Reihe auf Konvergenz untersuchen ( die Summe der Reihe braucht nicht berechnet werden). Ich wollte erst einmal die notwendige Bedingung für Konvergenz untersuchen: Der Grenzwert soll 0 sein. Also: Jetzt war ich mir wegen dem sin(k) nicht sicher.. Kann ich gleich von Anfang an feststellen, dass die Reihe divergiert, weil sin(k) divergent ist? Meine Ideen: |
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25.08.2013, 14:34 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Konvergenzkriterien für unendliche Reihen
Welcher Grenzwert soll (existieren und) Null sein?
Nein, konvergiert ja auch, obwohl der Zähler divergiert. |
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25.08.2013, 14:35 | Iorek | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Nein, das kannst du nicht. Die notwendige Bedingung ist hier auch durchaus erfüllt (betrachte einmal den Betrag der Folge und schätze geeignet ab). |
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25.08.2013, 14:51 | küb | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Konvergenzkriterien für unendliche Reihen
Ich habe mir das jetzt mal so angeschaut: weil: und Jetzt ist die notwendige Bedingung erfüllt, aber ich weiß nicht, welches Kriterium (Leibniz-, Majoranten-, Minoranten- oder Quotientenkriterium) ich anwenden soll, um sicher zu zeigen, dass die Reihe konvergiert.. |
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25.08.2013, 14:55 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Konvergenzkriterien für unendliche Reihen
Und was ist ?
Das zu zeigen, nützt dir übrigens nichts, wenn du Konvergenz nachweisen möchtest
Das Quotientenkriterium versagt bei solchen Reihen grundsätzlich, d.h. bei Reihen, deren Summanden gebrochenrational im Laufindex sind – der Sinus ändert daran nichts. Das Minorantenkriterium kann nur Divergenz nachweisen. Wenn du schon Konvergenz vermutest, steht das nicht in der engeren Auswahl. Zum Leibniz-Kriterium: Kann der Summand denn jemals negativ werden? |
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25.08.2013, 15:08 | küb | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Konvergenzkriterien für unendliche Reihen
Naja, wenn sie nicht erfüllt wäre, dann hätte ich ja nicht weitermachen müssen
Wieso ist es von Bedeutung beim Leibniz-Kriterium, dass der Summand jemals nagativ wird? Das Leibnizkriterium besagt doch nur, dass eine Reihe konvergiert, wenn es eine monotone Nullfolge ist.. Dann bleibt ja nur noch das Majorantenkriterium übrig.. Mein Problem besteht immer darin, dass ich nicht weiß, wie ich eine weitere Reihe finde, mit der ich dann meine vergleichen kann und dann daraus schlussfolgern kann, ob sie konvergent ist oder nicht.. |
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25.08.2013, 15:12 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Konvergenzkriterien für unendliche Reihen
Was ist denn "es"? Das klingt aber, als hättest du das Leibniz-Kriterium missverstanden.
Dazu muss man ein wenig ausprobieren oder etwas Erfahrung haben. Gute Majoranten wären für . Versuch einfach mal ein paar Abschätzungen. |
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25.08.2013, 15:20 | küb | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Konvergenzkriterien für unendliche Reihen
Könnte sein.. Ich hab stehen "Sei eine monotone Nullfolge. Dann konvergiert " Jetzt habe ich z.B. eine Aufgabe damit gelöst: (also wieder Konvergenzuntersuchung) und ist monoton fallend. Also konvergiert die Reihe. Wobei mir nicht wirklich klar ist, wieso man immer schreibt:
Ich versuch's mal.. |
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25.08.2013, 15:24 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Konvergenzkriterien für unendliche Reihen
Die Formulierung ist falsch. Die Reihe konvergiert dann (womit dann auch die genannte Anwendung möglich ist).
Wieso in den Aufgaben steht? Damit derjenige, der die Aufgabe lösen soll, nochmal wiederholen kann und nicht sofort sieht, dass der Faktor auftaucht und dass man wohl das Leibniz-Kriterium benutzen kann. Oder was meinst du? |
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25.08.2013, 15:31 | küb | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Konvergenzkriterien für unendliche Reihen
Du hast Recht, ich hab es falsch in meinen Aufzeichnungen gehabt..
Achso, dass ist, muss ich also wissen.. Wie kommt man darauf? |
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25.08.2013, 15:38 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Konvergenzkriterien für unendliche Reihen Das hängt davon ab, was du bisher über den Cosinus weißt. Steht sicher auch irgendwo in deinen Materialien. Diese Werte sollte man sich aber unbedingt merken. |
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25.08.2013, 15:44 | küb | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Konvergenzkriterien für unendliche Reihen Okay. Zurück zu der Aufgabe Ich muss jetzt irgendwie so vergrößern, dass die vergrößerte Form eine bekannte konvergente Reihe ist, oder? |
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25.08.2013, 15:48 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Konvergenzkriterien für unendliche Reihen So, dass die Reihe über den vergrößerten Term konvergiert. |
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25.08.2013, 15:54 | küb | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Konvergenzkriterien für unendliche Reihen Jup.. Kannst du mir einen Tipp geben? Kann ich das sin(k) nicht irgendwie loswerden? Bzw. muss ich das überhaupt? |
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25.08.2013, 15:55 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Konvergenzkriterien für unendliche Reihen Den Sinus loszuwerden, wäre tatsächlich hilfreich. Wogegen kannst du den denn abschätzen? |
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25.08.2013, 16:05 | küb | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Konvergenzkriterien für unendliche Reihen Ich verstehe irgendwie nicht, was mit dem "abschätzen" gemeint ist.. Also allgemein.. Muss ich einen Term finden, der dem Sinus ähnelt oder wie? |
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25.08.2013, 16:15 | bijektion | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Schätze mit dem größten Wert ab, den der Sinus annehmen kann. |
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25.08.2013, 16:19 | küb | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Der größte Wert, den Sinus annehmen kann, ist 1. |
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25.08.2013, 16:28 | bijektion | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Schätze nun weiter ab und wähle eine geeignete Majorante. |
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25.08.2013, 16:44 | küb | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Wie funktioniert denn das mit dem Abschätzen? Ich verstehe gar nicht, wie man einfach irgendwas durch etwas anderem ersetzen kann.. Kann ich jetzt statt einfach schreiben.. ? |
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25.08.2013, 17:03 | bijektion | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Dein x heißt ja eigentlich k. Dann könne wir abschätzen , da ja . Jetzt musst du gucken wie du nach oben abschätzt. Z.B. könntest du zuerst heraus nehmen. EDIT: Abschätzen bedeutet, dass du zu einem gegebenen Ausdruck einen anderen findest, der bestimmt größer ist. Dadurch kommst du in diesem Fall zu einer Reihe, von der du weißt das sie konvergiert (wie Che Netzer es bereits geschrieben hatte). |
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25.08.2013, 17:09 | küb | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Kann ich schreiben ? |
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25.08.2013, 17:11 | bijektion | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ja. |
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25.08.2013, 17:14 | küb | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Und da nicht < ist, ist meine Reihe nicht konvergent? Edit: Achso nein, da konvergent ist und größer als meine Reihe, ist meine Reihe auch konvergent. |
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25.08.2013, 17:19 | bijektion | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
. Da konvergiert, hast du eine konvergente Majorante gefunden. |
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25.08.2013, 17:21 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Wurde hier gerechnet? |
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25.08.2013, 17:22 | küb | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ja, ist das falsch? |
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25.08.2013, 17:29 | bijektion | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Also so meinte ich das nicht.. |
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25.08.2013, 17:32 | küb | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Haben wir nicht zu abgeschätzt? |
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25.08.2013, 17:33 | bijektion | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
25.08.2013, 17:36 | bijektion | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Hier muss ich mich entschuldigen, ich habe das +1 im Nenner übersehen, das darf da nicht sein.. |
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25.08.2013, 17:41 | küb | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Achso.. Ich glaube ich hab jetzt verstanden, wie das mit dem Abschätzen geht.. Hoffentlich schaff ich das bei den nächsten Aufgaben auch alleine ^^' Aber danke an euch beiden |
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