Taylorformel

26.08.2013, 13:35

Tay

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Taylorformel

Meine Frage:
Hallo leute ich habe bei einer schweren Aufgabe probleme:

Sei f unglücklich

unglücklich

-pi/2 , pi/2 ) pfeil R definiert durch f(x) = ln(cosx).

Berechnen sie das Taylorpolynom zweiten Grades für f an der Stelle x_0 = 0.

Zeigen sie dass für x $\begin{eqnarray*} \in [0, \frac{\pi }{4} ] \end{eqnarray*}$ gilt.

$\begin{eqnarray*} | f(x) - T_2(x)| \leq \frac{2}{3}x^3 \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Meine 1.Ableitung wäre:

f'(x) = $\begin{eqnarray*} sin x *\frac{1}{cos x} \end{eqnarray*}$

f''(x) = $\begin{eqnarray*} \frac{cos^2 x +sin^2 x}{(cos(x))^2} = \frac{1}{(cos x)^2} \end{eqnarray*}$

Stimmen die Ableitungen ?

Wie würde ich eigentlich die 3.Ableitung bestimmen?

26.08.2013, 13:43

HAL 9000

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Zitat:

Original von Tay
f'(x) = $\begin{eqnarray*} sin x *\frac{1}{cos x} \end{eqnarray*}$
[...]
Stimmen die Ableitungen ?

Vorzeichenfehler bei $\begin{eqnarray*} f' \end{eqnarray*}$ infolge $\begin{eqnarray*} (\cos(x))' = -\sin(x) \end{eqnarray*}$ , entsprechend dann Folgefehler bei $\begin{eqnarray*} f'' \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von Tay
Wie würde ich eigentlich die 3.Ableitung bestimmen?

Indem du $\begin{eqnarray*} f'' \end{eqnarray*}$ nochmal ableitest. Augenzwinkern

Augenzwinkern

26.08.2013, 13:47

Dopap

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RE: Taylorformel
ich würde $\begin{eqnarray*} f''(x)= -\cos(x)^{-2} \end{eqnarray*}$ nochmals ableiten

26.08.2013, 13:48

Tay

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Korrigierte Ableitungen :

$\begin{eqnarray*} f'(x) = - \frac{sin x}{cos x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'' (x) = - \frac{1}{(cos x)^2} \end{eqnarray*}$

Jetzt müsste es stimmen ?

Aber wie ich die dritte Ableitung berechnen soll keine Ahnung?

26.08.2013, 13:59

bijektion

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Für alle $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} f^{(n)}(x)=(f^{(n-1)}(x))' \end{eqnarray*}$ .

26.08.2013, 14:04

Dopap

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das wird nicht das Problem sein.

1.) f''(x) als Bruch auffassen und Quotientenregel anwenden. oder

2.) f''(x) als Potenz (-2) der inneren Funktion ( \cos(x)) ansehen, wie schon geschrieben.

zuerst Potenzregel, anschließend mal Ableitung der inneren Funktion.

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26.08.2013, 14:10

Tay

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Ok ich habe mal die dritte ABleitung versucht:

$\begin{eqnarray*} f'''(x) = 2*cos(x)^{-3}*(-sin(x) ) \end{eqnarray*}$

Ich hoffe die Ableitung stimmt?

26.08.2013, 14:21

Dopap

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ja, stimmt aber man verschönert automatisch:
$\begin{eqnarray*} f'''(x) = 2*cos(x)^{-3}*(-sin(x) ) = \frac {-2 \sin(x)}{\cos(x)^3} \end{eqnarray*}$

26.08.2013, 14:28

Tay

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Ok dann in die Funktionen 0 eingesetzt:

f(0) = 0

f'(0) =0

f''(0) = -1

Und mein ANsatz mit dem Taylorpolynom .

Wie gehe ich genau weiter vor?

26.08.2013, 14:39

bijektion

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Wenn $\begin{eqnarray*} f''(0)=-1 \end{eqnarray*}$ , warum dann $\begin{eqnarray*} \frac{0}{2!}(x-0) \end{eqnarray*}$ ? Außerdem hast du die Exponenten vergessen.

26.08.2013, 14:51

Tay

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Oh ja stimmt da habe ich einen Fehler gemacht :

-1/2!* ( x-0)^2

Das Ergebnis des Taylorpolynom wäre demnach:

1/2*x^2

Stimmt's?

26.08.2013, 14:56

bijektion

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Wo ist das Vorzeichen jetzt hin?

EDIT: Ich komme auf $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^3 \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}*(x-x_0)^k = \frac{0}{0!}*(x-0)^0+\frac{0}{1!}*(x-0)^1+\frac{-1}{2!}*(x-0)^2+\frac{0}{3!}*(x-0)^3=-\frac{1}{2}*x^2 \end{eqnarray*}$

26.08.2013, 15:05

Tay

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Tut mir leid Leute .

Ich hatte mich leider vertippt .

Aber jetzt kommt das schwierige Teil bei dem ich immer so Probleme hab .

Wie gehe ich jetzt genau bei der Fehlerabschätzung vor ?

26.08.2013, 15:25

bijektion

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Das kann ja passieren smile

smile

schreib erstmal auf was du weißt smile

smile

EDIT: Also was man abschätzen muss.

26.08.2013, 16:16

Tay

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Hier meine Restgliedformel.

f'''(0) = 0

Dann müsste doch 0 rauskommen oder?

Weil in der dritten Ableitung 0 eingesetzt 0 raus kommt.

26.08.2013, 16:22

bijektion

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Ich glaube du verwechselst hier was: Es gilt doch $\begin{eqnarray*} | f(x)-T_2(x) | \leq \frac{2}{3}x^3 \end{eqnarray*}$ gezeigt werden. Also $\begin{eqnarray*} |ln(cos(x))-(-\frac{1}{2}x^2)|=... \leq \frac{2}{3}x^3 \end{eqnarray*}$ .

26.08.2013, 16:27

Tay

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$\begin{eqnarray*} |ln(cosx) + \frac{1}{2}x^2 \leq \frac{2}{3}x^3 \end{eqnarray*}$

So formal richtig geschrieben.

Aber jetzt brauche ich bitte paar tips .

Da ich jetzt leide rüberhaupt keine ideen hab.
WIe muss ich hier jetzt vorgehen?

26.08.2013, 16:37

bijektion

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Meins war richtiger als deins jetzt.. Also: $\begin{eqnarray*} |ln(cos(x))+\frac{1}{2}x^2|\leq \frac{2}{3}x^3 \end{eqnarray*}$ ist zu zeigen. Als erstes könntest du die Dreiecksungleichung anwenden und dann direkt $\begin{eqnarray*} ln(cos(x)) \end{eqnarray*}$ betrachten und abschätzen smile

smile

26.08.2013, 16:37

Tay

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Wenn ich in der Gleichung für x = 0 einsetze kommt

ja das raus:

0 <= 0

Wäre das schon das Ergebnis?

26.08.2013, 16:43

bijektion

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Nein. Kennst du den Mittelwertssatz?

26.08.2013, 16:43

Tay

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Mein Ansatz würde so aussehen würde das helfen?

Bin grad bisschen mit meinem Wissen am Ende.

26.08.2013, 16:46

bijektion

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Der ist aber falsch... Was ist mit dem MWS?

26.08.2013, 16:50

Tay

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Ich bin ehrlich .

ich habe was vom Mittelwertsatz gehört ,aber kann ihn nicht anwenden.
Gibt es eine andere Möglichkeit?

26.08.2013, 16:51

Dopap

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normalerweise schätzt man ja das Restglied ab:

$\begin{eqnarray*} R_2(x,0)=\frac { f'''(\xi)}{3!} x^3 \qquad mit \quad 0<\xi <x \end{eqnarray*}$

aber macht erst mal weiter...

26.08.2013, 16:55

bijektion

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Kümmer dich wie gesagt erst um das $\begin{eqnarray*} ln(cos(x)) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x \in \left[0,\frac{\pi}{4}\right] \end{eqnarray*}$ .
Es gilt $\begin{eqnarray*} ln(cos(0))=ln(1)=0 \end{eqnarray*}$ und nach dem MWS $\begin{eqnarray*} \exists \xi \in (0,x) \end{eqnarray*}$ sodass $\begin{eqnarray*} \frac{ln(cos(x))-ln(cos(0))}{x-0}= \frac{ln(cos(x))}{x}=f'(\xi)=-tan(\xi) \end{eqnarray*}$ ( $\begin{eqnarray*} x\in\left[0,\frac{\pi}{4}\right] \end{eqnarray*}$ ). Jetzt kannst du das schonmal nach oben abschätzen.

@Dopap: So wie es für mich aussieht soll er aber nicht das Restglied abschätzen verwirrt

verwirrt

Obwohl es ja wirklich zur Abschätzung passen würde..

26.08.2013, 16:56

Tay

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JA dopap ich hatte ja auch das restglied benutzt aber was ist daran falsch , siehe paar beiträge vorher?

26.08.2013, 17:00

Tay

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Bin auch grad verwirrt leute .

Ich dachte auch das man das restglied benutzen muss.

verwirrt

26.08.2013, 17:03

bijektion

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Ok ich auch geschockt

geschockt

Ich bin über meinen Weg zumindest selbst zum gewünschten Ergebnis gekommen, aber wenn es wirklich einfach mit dem Restglied gemacht werden soll, ist es natürlich wirklich einfacher..

26.08.2013, 17:06

Nofeykx

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Hi, mal ein Tipp:

$\begin{eqnarray*} | f(x) - T_2(x)| = |R(x, 0)| \end{eqnarray*}$ .

Hat man also eine Abschätzung für das Restglied gilt die gleiche automatisch auch für

$\begin{eqnarray*} | f(x) - T_2(x)| \end{eqnarray*}$ ,

versteht ihr, warum es also reicht, das Restglied abzuschätzen?

26.08.2013, 17:10

bijektion

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Ok ok, das Restglied wird reichen.. Ich dachte es sollte der Umweg gegangen werden, mein Fehler Hammer

Hammer

Mit Restglied ist es ein Einzeiler..

26.08.2013, 17:14

bijektion

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Also dann mit Restglied Tay. $\begin{eqnarray*} | R_2(x,0) |=|\frac{f^{(3)}(\xi)}{3!}*x^3|=|\frac{-2}{3!}*\frac{sin(\xi)}{cos^3(\xi)}*x^3| \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} 0<\xi<x \end{eqnarray*}$ abschätzen, hast du einen Ansatz?

26.08.2013, 17:15

Dopap

Auf diesen Beitrag antworten »

das Restglied ist ja gerade die Differenz zum Funktionswert smile

smile

also, den Betrag des Restgliedes im Intervall $\begin{eqnarray*} 0 <x<\frac \pi 4 \end{eqnarray*}$ nach oben abschätzen.
Versuch es mal

edit: die explizite Formel steht ja schon oberhalb. Denk an das Intervall !

26.08.2013, 17:27

Tay

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Zitat:

Original von bijektion
Also dann mit Restglied Tay. $\begin{eqnarray*} | R_2(x,0) |=|\frac{f^{(3)}(\xi)}{3!}*x^3|=|\frac{-2}{3!}*\frac{sin(\xi)}{cos^3(\xi)}*x^3| \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} 0<\xi<x \end{eqnarray*}$ abschätzen, hast du einen Ansatz?

Also wenn ich für das x = 0

einsetze kommt ja insgesamt der kleinste wert also 0 raus .

Für pi/4 würde da in etwa der grösste wert raus kommen .

Ich kann ja mal pi/4 einsetzen ,dann habe ich das stehen:

$\begin{eqnarray*} -\frac{2*sin(Xi)}{3!*cos^3(xi)} *(\frac{\pi }{4})^3 \end{eqnarray*}$

Würde das so reichen?

26.08.2013, 17:33

bijektion

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Nein, geh das anders an, beachte das nicht $\begin{eqnarray*} \xi=x \end{eqnarray*}$ gilt. Da der Sinus auf dem Intervall $\begin{eqnarray*} [0, \frac{\pi}{4}] \end{eqnarray*}$ streng monoton steigend und der Cosinus auf dem gleichen Intervall streng monoton fallend ( $\begin{eqnarray*} cos^3(x) \end{eqnarray*}$ auch) ist, kannst du also mit dem größten Element des Intervalls den Cosinus nach unten abschätzen und den Sinus nach oben. Dann hast du eigentlich schon das Ergebnis.

26.08.2013, 17:38

Tay

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cos(0) =1

Also würde die funktion für diesen Wert am stärksten Fall fallen.

Wäre das schon so richtig argumentiert?

26.08.2013, 17:42

bijektion

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Woher nimmst du das denn?

$\begin{eqnarray*} |\frac{-2}{3!}*\frac{sin(\xi)}{cos^3(\xi)}*x^3| \leq \frac{2}{3!}*\frac{sin(\frac{\pi}{4})}{cos^3(\frac{\pi}{4})}*x^3 \end{eqnarray*}$ ...

Ist doch jetzt offensichtlich Wink

Wink

26.08.2013, 17:44

Tay

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Zitat:

Original von bijektion
Woher nimmst du das denn?

$\begin{eqnarray*} |\frac{-2}{3!}*\frac{sin(\xi)}{cos^3(\xi)}*x^3| \leq \frac{2}{3!}*\frac{sin(\frac{\pi}{4})}{cos^3(\frac{\pi}{4})}*x^3 \end{eqnarray*}$ ...

Ist doch jetzt offensichtlich Wink

Wink

Das reicht schon als Ergebnis oder wie?

26.08.2013, 17:46

bijektion

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Wenn du das noch vernünftig Wegkürzt ja.

26.08.2013, 17:53

Tay

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Ich habe teilweise kreuzweise mal genommen und das stehen:

Stimmts?

26.08.2013, 17:56

bijektion

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Zitat:

Original von Tay
Ich habe teilweise kreuzweise mal genommen und das stehen:

Was soll das bedeuten? Du hast die Beträge vergessen, und was heißt das $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ ?

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