Taylorformel

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Tay Auf diesen Beitrag antworten »
Taylorformel
Meine Frage:
Hallo leute ich habe bei einer schweren Aufgabe probleme:

Sei funglücklich -pi/2 , pi/2 ) pfeil R definiert durch f(x) = ln(cosx).

Berechnen sie das Taylorpolynom zweiten Grades für f an der Stelle x_0 = 0.

Zeigen sie dass für x gilt.



Meine Ideen:
Meine 1.Ableitung wäre:

f'(x) =

f''(x) =

Stimmen die Ableitungen ?

Wie würde ich eigentlich die 3.Ableitung bestimmen?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Tay
f'(x) =
[...]
Stimmen die Ableitungen ?

Vorzeichenfehler bei infolge , entsprechend dann Folgefehler bei .

Zitat:
Original von Tay
Wie würde ich eigentlich die 3.Ableitung bestimmen?

Indem du nochmal ableitest. Augenzwinkern
 
 
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Taylorformel
ich würde nochmals ableiten
Tay Auf diesen Beitrag antworten »

Korrigierte Ableitungen :





Jetzt müsste es stimmen ?

Aber wie ich die dritte Ableitung berechnen soll keine Ahnung?
bijektion Auf diesen Beitrag antworten »

Für alle gilt: .
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

das wird nicht das Problem sein.

1.) f''(x) als Bruch auffassen und Quotientenregel anwenden. oder

2.) f''(x) als Potenz (-2) der inneren Funktion ( \cos(x)) ansehen, wie schon geschrieben.

zuerst Potenzregel, anschließend mal Ableitung der inneren Funktion.
Tay Auf diesen Beitrag antworten »

Ok ich habe mal die dritte ABleitung versucht:



Ich hoffe die Ableitung stimmt?
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

ja, stimmt aber man verschönert automatisch:
Tay Auf diesen Beitrag antworten »

Ok dann in die Funktionen 0 eingesetzt:

f(0) = 0

f'(0) =0

f''(0) = -1

Und mein ANsatz mit dem Taylorpolynom .

Wie gehe ich genau weiter vor?
bijektion Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn , warum dann ? Außerdem hast du die Exponenten vergessen.
Tay Auf diesen Beitrag antworten »

Oh ja stimmt da habe ich einen Fehler gemacht :

-1/2!* ( x-0)^2

Das Ergebnis des Taylorpolynom wäre demnach:

1/2*x^2

Stimmt's?
bijektion Auf diesen Beitrag antworten »

Wo ist das Vorzeichen jetzt hin?

EDIT: Ich komme auf
Tay Auf diesen Beitrag antworten »

Tut mir leid Leute .

Ich hatte mich leider vertippt .

Aber jetzt kommt das schwierige Teil bei dem ich immer so Probleme hab .

Wie gehe ich jetzt genau bei der Fehlerabschätzung vor ?
bijektion Auf diesen Beitrag antworten »

Das kann ja passieren smile schreib erstmal auf was du weißtsmile

EDIT: Also was man abschätzen muss.
Tay Auf diesen Beitrag antworten »

Hier meine Restgliedformel.

f'''(0) = 0

Dann müsste doch 0 rauskommen oder?

Weil in der dritten Ableitung 0 eingesetzt 0 raus kommt.
bijektion Auf diesen Beitrag antworten »

Ich glaube du verwechselst hier was: Es gilt doch gezeigt werden. Also .
Tay Auf diesen Beitrag antworten »



So formal richtig geschrieben.

Aber jetzt brauche ich bitte paar tips .

Da ich jetzt leide rüberhaupt keine ideen hab.
WIe muss ich hier jetzt vorgehen?
bijektion Auf diesen Beitrag antworten »

Meins war richtiger als deins jetzt.. Also: ist zu zeigen. Als erstes könntest du die Dreiecksungleichung anwenden und dann direkt betrachten und abschätzen smile
Tay Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn ich in der Gleichung für x = 0 einsetze kommt

ja das raus:

0 <= 0

Wäre das schon das Ergebnis?
bijektion Auf diesen Beitrag antworten »

Nein. Kennst du den Mittelwertssatz?
Tay Auf diesen Beitrag antworten »

Mein Ansatz würde so aussehen würde das helfen?

Bin grad bisschen mit meinem Wissen am Ende.
bijektion Auf diesen Beitrag antworten »

Der ist aber falsch... Was ist mit dem MWS?
Tay Auf diesen Beitrag antworten »

Ich bin ehrlich .

ich habe was vom Mittelwertsatz gehört ,aber kann ihn nicht anwenden.
Gibt es eine andere Möglichkeit?
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

normalerweise schätzt man ja das Restglied ab:



aber macht erst mal weiter...
bijektion Auf diesen Beitrag antworten »

Kümmer dich wie gesagt erst um das mit .
Es gilt und nach dem MWS sodass ( ). Jetzt kannst du das schonmal nach oben abschätzen.

@Dopap: So wie es für mich aussieht soll er aber nicht das Restglied abschätzen verwirrt Obwohl es ja wirklich zur Abschätzung passen würde..
Tay Auf diesen Beitrag antworten »

JA dopap ich hatte ja auch das restglied benutzt aber was ist daran falsch , siehe paar beiträge vorher?
Tay Auf diesen Beitrag antworten »

Bin auch grad verwirrt leute .

Ich dachte auch das man das restglied benutzen muss.

verwirrt
bijektion Auf diesen Beitrag antworten »

Ok ich auch geschockt

Ich bin über meinen Weg zumindest selbst zum gewünschten Ergebnis gekommen, aber wenn es wirklich einfach mit dem Restglied gemacht werden soll, ist es natürlich wirklich einfacher..
Nofeykx Auf diesen Beitrag antworten »

Hi, mal ein Tipp:


.

Hat man also eine Abschätzung für das Restglied gilt die gleiche automatisch auch für

,

versteht ihr, warum es also reicht, das Restglied abzuschätzen?
bijektion Auf diesen Beitrag antworten »

Ok ok, das Restglied wird reichen.. Ich dachte es sollte der Umweg gegangen werden, mein Fehler Hammer Mit Restglied ist es ein Einzeiler..
bijektion Auf diesen Beitrag antworten »

Also dann mit Restglied Tay. mit abschätzen, hast du einen Ansatz?
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

das Restglied ist ja gerade die Differenz zum Funktionswert smile

also, den Betrag des Restgliedes im Intervall nach oben abschätzen.
Versuch es mal


edit: die explizite Formel steht ja schon oberhalb. Denk an das Intervall !
Tay Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von bijektion
Also dann mit Restglied Tay. mit abschätzen, hast du einen Ansatz?



Also wenn ich für das x = 0

einsetze kommt ja insgesamt der kleinste wert also 0 raus .

Für pi/4 würde da in etwa der grösste wert raus kommen .

Ich kann ja mal pi/4 einsetzen ,dann habe ich das stehen:





Würde das so reichen?
bijektion Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, geh das anders an, beachte das nicht gilt. Da der Sinus auf dem Intervall streng monoton steigend und der Cosinus auf dem gleichen Intervall streng monoton fallend ( auch) ist, kannst du also mit dem größten Element des Intervalls den Cosinus nach unten abschätzen und den Sinus nach oben. Dann hast du eigentlich schon das Ergebnis.
Tay Auf diesen Beitrag antworten »

cos(0) =1

Also würde die funktion für diesen Wert am stärksten Fall fallen.

Wäre das schon so richtig argumentiert?
bijektion Auf diesen Beitrag antworten »

Woher nimmst du das denn?

...

Ist doch jetzt offensichtlich Wink
Tay Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von bijektion
Woher nimmst du das denn?

...

Ist doch jetzt offensichtlich Wink


Das reicht schon als Ergebnis oder wie?
bijektion Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du das noch vernünftig Wegkürzt ja.
Tay Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe teilweise kreuzweise mal genommen und das stehen:

Stimmts?
bijektion Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Tay
Ich habe teilweise kreuzweise mal genommen und das stehen:


Was soll das bedeuten? Du hast die Beträge vergessen, und was heißt das ?
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