Teilräume

26.08.2013, 15:20

küb

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Teilräume

Meine Frage:
Hey Leute,

wir haben heute mit einem neuen Thema angefangen und da wurde mir im Tutorium nicht ganz klar, wie ich solch eine Aufgabe löse:

Untersuchen Sie, ob $\begin{eqnarray*} T= \end{eqnarray*}$ { $\begin{eqnarray*} p \in \mathbb R_{\leq 2} [x], p(0)+p(1)=0 \end{eqnarray*}$ } ein Teilraum von $\begin{eqnarray*} \mathbb R_\leq 2[x] \end{eqnarray*}$ ist.

Ich muss erst schauen erst ob 0 Element von R ist.
Ich könnte jetzt davon ausgehen, dass p(1)=0 und p(0)=0 ist, dann würde es ja zutreffen.. Aber es könnte ja auch sein, dass p(0)=1 und p(1)=-1 (Oder gibt es solch eine Funktionsvorschrift nicht?)

Meine Ideen:

26.08.2013, 15:55

Iorek

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Was ist denn in diesem Fall dein 0-Element?

26.08.2013, 20:24

küb

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Hm, wie meinst du das?

26.08.2013, 21:04

Iorek

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Wie sieht dein Nullvektor aus? Du betrachtest hier den Raum der Polynome vom Grad kleiner-gleich 2, also sind die Elemente (die Vektoren) dieser Menge Funktionen. Wie sieht nun der Nullvektor aus?

26.08.2013, 21:16

küb

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$\begin{eqnarray*} p(0)= 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} p(1) = 0 \end{eqnarray*}$ ?

26.08.2013, 21:31

Iorek

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Nein, das ist die Bedingung, die eine Element erfüllen muss um in dieser Menge zu liegen.

Wie sieht der Nullvektor des Vektorraums der Polynome aus?

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26.08.2013, 21:57

küb

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Also ein Polynom </=2 müsste so aussehen:

$\begin{eqnarray*} P= a_0 + a_1*x_1 + a_2 * x_2 \end{eqnarray*}$

Und der Nullvektor existiert dann für i=0 ?

26.08.2013, 22:08

Iorek

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Zitat:

Original von küb
Und der Nullvektor existiert dann für i=0 ?

Was soll das für eine Aussage sein? verwirrt

verwirrt

Du musst eigentlich nur eine ganz einfache Frage beantworten, zunächst komplett losgelöst vom Kontext dieser Aufgabe: wie sieht der Nullvektor im Vektorraum der Polynome aus? Wenn du das beantworten kannst oder nachgeschlagen hast, kannst du überprüfen ob dieser in der Menge enthalten ist.

26.08.2013, 22:24

küb

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Ich weiß nicht, wie der Nullvektor aussieht..
Habe jetzt gefunden:
Nullvektor: p(x) = 0 für alle x

26.08.2013, 22:25

Iorek

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Ja, der Nullvektor entspricht in diesem Fall der Nullfunktion, also $\begin{eqnarray*} f:\mathbb R\rightarrow\mathbb R,x\mapsto 0 \end{eqnarray*}$ . Erfüllt diese Funktion die geforderte Bedingung und liegt in der Menge?

26.08.2013, 22:31

küb

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$\begin{eqnarray*} T= \end{eqnarray*}$ { $\begin{eqnarray*} p \in \mathbb R_{\leq 2} [x], p(0)+p(1)=0 \end{eqnarray*}$ }

Hm, also ich würde jetzt "ja" sagen, weil ich da ja p(0) + ... = 0 habe.. Aber ist die p(1) dann nicht von Bedeutung?

26.08.2013, 22:35

Iorek

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Natürlich ist das von Bedeutung, was ist denn der Funktionswert des Nullpolynoms an der Stelle 1?

26.08.2013, 22:41

küb

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Achso, das ist dann auch =0, weil f(x)=0

26.08.2013, 22:43

Iorek

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So, damit haben dir $\begin{eqnarray*} 0\in T \end{eqnarray*}$ nachgewiesen. Bleiben noch die übrigen Unterraumkriterien.

26.08.2013, 22:55

küb

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(2) Seien f(x), g(x) in T
Ist (f+g)(x) in T?

Jetzt weiß ich nicht genau, was ich für x einsetze..

Als wir im Tutorium eine Aufgabe hatten, da hatten wir p(1)=0 statt p(1)+p(0)=0
und haben dann einfach 1 für x einsetzen können.. Jetzt habe ich ja aber 1 und 0

26.08.2013, 23:00

Iorek

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Wo liegt denn das Problem, dass du jetzt 1 und 0 hast?

Damit $\begin{eqnarray*} f+g\in T \end{eqnarray*}$ ist, muss $\begin{eqnarray*} (f+g)(0)+(f+g)(1)=0 \end{eqnarray*}$ sein. Das lässt sich nun einfach nachrechnen.

26.08.2013, 23:07

küb

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Okay, da f und g in T liegen, ist f(0) + f(1) + g(0) + g(1) = 0

26.08.2013, 23:16

Iorek

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Ja, damit ist also die Summe zweier Elemente wieder in $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ .

26.08.2013, 23:24

küb

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Und bei (3) überprüfe ich einfach:

Sei f(x) in T und lambda in R
(lambda * f) (x)

(lambda*f)(1) + (lambda*f)(0) = lambda * (f(0)+f(1)) = 0

26.08.2013, 23:27

Iorek

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Genau so ist es.

26.08.2013, 23:33

küb

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Yaay

Big Laugh

Danke schön ^^

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