Meromorpher Funktionenring über einem Gebiet <-- Körper

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26.08.2013, 17:18	Oblong	Auf diesen Beitrag antworten »
Meromorpher Funktionenring über einem Gebiet <-- Körper Guten Abend, in meinem Skript zur Funktionentheorie steht, dass wenn $\begin{eqnarray} G \subset \mathbb{Q} \end{eqnarray}$ ein Gebiet ist, dass dann der Ring $\begin{eqnarray} M(G) \end{eqnarray}$ ein Körper ist. Was mir dabei nicht ganz klar ist, ist die Begründung. Sie schreiben dort " $\begin{eqnarray} M(G) \end{eqnarray}$ ist ein Körper, denn die Nullstellen und Polstellen von $\begin{eqnarray} f \in M(G) \setminus \{0 \} \end{eqnarray}$ können sich nicht häufen." Dass bedeutet dann ja, dass die Polstellen & Nullstellen einer Funktion $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ bei der Inversion keine wesentlichen Singularitäten bei $\begin{eqnarray} f^{-1} \end{eqnarray}$ erzeugen? Warum gilt das?
26.08.2013, 17:48	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Meromorpher Funktionenring über einem Gebiet <-- Körper Warum gilt was? Dass sich die Nullstellen nicht (in $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ ) häufen können? Das folgt aus dem Identitätssatz. Und du meinst sicher $\begin{eqnarray} G\subset\mathbb Q \end{eqnarray}$ .
26.08.2013, 19:09	Oblong	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja ich meinte natürlich $\begin{eqnarray} G \subset \mathbb{C} \end{eqnarray}$ . Das sich die Nullstellen & Polstellen nicht häufen können, folgt aus dem Identitätssatz war mir soweit klar. Aber warum folgt daraus, dass alle Funktionen in $\begin{eqnarray} M(G) \end{eqnarray}$ invertierbar sind? Ist es so, dass dadurch dass die Polstellen und Nullstellen von $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ sich nicht häufen keine wesentlichen Singularitäten bei $\begin{eqnarray} f^{-1} \end{eqnarray}$ entstehen?
26.08.2013, 19:15	Oblong	Auf diesen Beitrag antworten »
Und wieder Korrektur. Ich meine natürlich, dass $\begin{eqnarray} G \subset \hat{\mathbb{C}} \end{eqnarray}$
26.08.2013, 19:20	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
[Edit: bezieht sich auf den vorletzten Beitrag] Das ist sowieso der Fall. Wenn $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ keine wesentlichen Singularitäten hat, dann hat $\begin{eqnarray} \frac1f \end{eqnarray}$ auch keine. Was diese Begründung soll, kann ich mir auch nicht erklären...
26.08.2013, 20:00	Oblong	Auf diesen Beitrag antworten »
Sprich ist die Eigenschaft, dass es ein Körper ist eigentlich nicht dadurch begründet, sondern einfach aus der Tatsache mit den wesentlichen Sing. Trotzdem danke
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26.08.2013, 20:15	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja. Alle Körpereigenschaften sind ja klar; bis auf die Existenz einer multiplikativen Inversen. Und die ist dadurch gesichert, dass mit $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ auch $\begin{eqnarray} \frac1f \end{eqnarray}$ meromorph ist.
26.08.2013, 20:30	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Warum dieser Satz die Körpereigenschaft von $\begin{eqnarray} M(G) \end{eqnarray}$ begründet, hängt sicher damit zusammen, wie der Begriff der Meromorphie eingeführt wurde. Wenn man eine meromorphe Funktion als Quotienten holomorpher Funktionen definiert, ist die Körpereigenschaft natürlich trivial. Möglicherweise aber liegt eine andere Definition der Meromorphie zugrunde, wo dann die Eigenschaft, global Quotient holomorpher Funktionen zu sein, eine nichttriviale Folgerung wäre. Wie so oft: man müßte den Zusammenhang kennen, um sinnvoll auf die Frage eingehen zu können.
27.08.2013, 05:20	Oblong	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, daran kann es wohl liegen. Bei uns lautet die Definition... $\begin{eqnarray} M(G):= \{f: U \rightarrow \mathbb{C} \|~ f ~meromorph\} \end{eqnarray}$ Und Meromorph ist so definiert: " $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ heißt meromorph auf einer offenen Teilmenge $\begin{eqnarray} U \subset \mathbb{C} \end{eqnarray}$ , falls $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ bis auf isolierte Singularitäten holomorph auf $\begin{eqnarray} U \end{eqnarray}$ ist und keine wesentlichen Singularitäten hat." Demnach wäre es nicht trivial, dass die Inversen einer meromorphen Funktion wieder dardrine liegt richtig!?

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