Konvergenzkriterium?

26.08.2013, 19:03

küb

Konvergenzkriterium?

Meine Frage:
Hallo Leute,

komme bei folgender Aufgabe nicht weiter:

Untersuchen Sie die folgende Reihe auf Konvergenz (die Summe der Reihe muss nicht berechnet werden):

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{k^{4} }{e^{k^2}} \end{eqnarray*}$

Ich dachte, dass ich das Quotientenkriterium anwende, (weil ich das mit dem Abschätzen beim Majorantenkriterium alleine nicht wirklich hinkriege).

Also habe ich geschrieben:

$\begin{eqnarray*} \lim_{k \to \infty } \frac{\frac{(k+1)^{4} }{e^{(k+1)^2} } }{\frac{k^{4} }{e^{k^2} } } = \lim_{k \to \infty } {(\frac{e^{k} }{e^{(k+1)} })}^2 * {( \frac{k+1}{k})}^4 = \lim_{k \to \infty } \frac{(k+1)^{4}* e^{-2} }{k^{4} } = \lim_{k \to \infty } \frac{(k^{4} + 4*k^{3} + 6*k^{2} + 4*k +1) * e^{-2}}{k^{4}} \end{eqnarray*}$

Stimmt das soweit?
Jetzt komme ich nicht weiter.. Ich muss ja prüfen, ob der Grenzwert kleiner oder größer 1 ist..

Meine Ideen:

26.08.2013, 19:08

Iorek

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RE: Konvergenzkriterium?

Zitat:

Original von küb
Untersuchen Sie die folgende Reihe auf Konvergenz (die Summe der Reihe muss nicht berechnet werden):

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{k^{4} }{e^{x^2}} \end{eqnarray*}$

Ist das die korrekte Aufgabe? Oder soll das $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ sein?

26.08.2013, 19:17

küb

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RE: Konvergenzkriterium?
Es sollte ein k sein geschockt

.. Ich bin es gewohnt, immer als Variable x zu schreiben unglücklich

26.08.2013, 19:30

Iorek

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Ok, dann kannst du ja nun den Grenzwert für $\begin{eqnarray*} k\rightarrow \infty \end{eqnarray*}$ berechnen. (Übrigens musst du $\begin{eqnarray*} \left(\frac {k+1}k\right)^4 \end{eqnarray*}$ nicht unbedingt ausmultiplizieren, das wird so nur unübersichtlich.)

26.08.2013, 19:36

küb

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RE: Konvergenzkriterium?
Muss ich mir nicht den Faktor der größten Potenz anschauen?

Das wäre dann ja 1/1 und e^-2 bleibt übrig. Also ist der Grenzwert e^-2.
Und da das kleiner als 1 ist, ist die Reihe konvergent.

26.08.2013, 20:09

Iorek

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RE: Konvergenzkriterium?

Zitat:

Original von küb
Muss ich mir nicht den Faktor der größten Potenz anschauen?

Als Faustregel ist das korrekt, mathematisch korrekt nachgewiesen wäre das so noch nicht. Aber ja, die Reihe ist (absolut) konvergent.

26.08.2013, 20:20

Guppi12

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Darf ich kurz einwerfen, dass die Umformung $\begin{eqnarray*} \frac{e^{k^2}}{e^{(k+1)^2}} = \left (\frac{e^k}{e^{k+1}}\right )^2 \end{eqnarray*}$ zu bezweifeln ist?

Das ändert zwar nichts, aber erwähnt sein sollte es schon.

Bin dann auch wieder weg.

26.08.2013, 20:24

Iorek

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Das ist mir in der Tat entgangen und sollte zurecht angezweifelt werden. Danke. Freude

26.08.2013, 20:28

küb

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Dann habe ich also:

$\begin{eqnarray*} \lim_{k \to \infty } {(\frac{e^{k^2} }{e^{(k+1)^2} })} * {( \frac{k+1}{k})}^4 \end{eqnarray*}$

Der rechte Summand strebt gegen 1, wie ich bereits geschrieben hatte.
Und wie komme ich von dieser Form aus auf den Grenzwert des ersten Summanden?

26.08.2013, 20:35

Iorek

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Durch Anwendung der Potenzgesetze und binomischer Formeln: $\begin{eqnarray*} \frac{e^{k^2}}{e^{(k+1)^2}}=\frac{e^{k^2}}{e^{k^2+2k+1}}=\dots \end{eqnarray*}$

26.08.2013, 20:40

küb

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$\begin{eqnarray*} =\frac{1}{e^{2k+1}}= e^{-2*x-1} \end{eqnarray*}$

26.08.2013, 20:42

Iorek

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Wenn du das $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ wieder durch ein $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ ersetzt stimmt das jetzt. Den Grenzwert davon kann man nun auch berechnen.

26.08.2013, 20:45

küb

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Zitat:

Wenn du das $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ wieder durch ein $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ ersetzt stimmt das jetzt.

Ja, danke!!

Und der Grenzwert ist dann 0.

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