Verdreifachung des Radius einer Kugel

26.08.2013, 21:30

Daxter1234

Verdreifachung des Radius einer Kugel

Folgende Aufgabe:

Wie verändert sich das Volumen einer Kugel wenn der Radius sich verdreifacht?

Mein Ansatz:

Formel ist ja 4/3 * Pi * r³

also nehme ich 3r³ da ich den Radius verdreifache.

wenn ich jetzt als beispiel als radius 2 nehme komme ich auf:

33,5

wenn ich den radius verdreifache auf

100,48

aber das kann doch nicht sein?

26.08.2013, 21:32

Gast11022013

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Du musst dann in der Formel auch

$\begin{eqnarray*} (3r)^3 \end{eqnarray*}$

benutzen und nicht

$\begin{eqnarray*} 3(r)^3 \end{eqnarray*}$

das ist nämlich ein Unterschied.

26.08.2013, 22:00

Daxter1234

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also verneunfacht sich das volumen?

26.08.2013, 22:01

Gast11022013

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Nein, es verneunfacht sich nicht.

Bedenke, dass wir es hier mit hoch 3 zu tun haben und nicht mit hoch 2

26.08.2013, 22:23

Daxter1234

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also w enn ich jetzt als bsp 2 als radius einsetze habe ich ohne die verdreifachung ja 8 raus. und wenn ich das verdreifache doch 6x6x6 = 216

also eine 27 vergrößérung?

26.08.2013, 22:28

Gast11022013

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Wenn du das Volumen für einen Radius r berechnest und danach den Radius verdreifacht, also mit 3r rechnest, dann stellst du fest, dass sich das Volumen, bei einer Verdreifachung des Radius, versiebenundzwanzigfacht.

$\begin{eqnarray*} \frac43\cdot \pi\cdot (3r)^3=\frac43\cdot \pi\cdot 3^3r^3 \end{eqnarray*}$

Also insgesamt 27 mal das was du vorher berechnet hast.

26.08.2013, 23:20

Dopap

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also, bei linearen Abbildungen merken:

Das Volumen wächst bei jedem Körper mit der dritten Potenz.
Die Oberfläche und Querschnitte im Quadrat mit dem Faktor.

Und nun versuch mal zu erklären, warum ein linear vergrösserte Mensch mit dem Faktor 10 = Gulliver, nicht stehen könnte. verwirrt

27.08.2013, 09:17

Daxter1234

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irgendwie leuchtet mir das immer noch nicht ein verwirrt

so komme ich nur drauf wenn ich werte eingebe und das dann ausrechne und vergleiche.

kann ich die potenzen nicht addieren?

27.08.2013, 15:53

Guppi12

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Hallo,

Zitat:

kann ich die potenzen nicht addieren?

ich weiß nicht, was du damit meinst.

Ich versuche, es nochmal zu erklären:

Du hast eine Kugel mit Radius $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ und eine Kugel mit Radius $\begin{eqnarray*} 3r \end{eqnarray*}$ .

Wir bezeichnen das Volumen der jeweiligen Kugeln mal mit $\begin{eqnarray*} V_r \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} V_{3r} \end{eqnarray*}$ .

Wir möchten jetzt wissen, um welchen Faktor das Volumen $\begin{eqnarray*} V_{3r} \end{eqnarray*}$ größer ist, als das Volumen $\begin{eqnarray*} V_r \end{eqnarray*}$ . Dafür stellen wir mal eine Gleichung auf:

$\begin{eqnarray*} V_{3r} = c\cdot V_r \end{eqnarray*}$ . Hierbei soll $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ jetzt der Faktor sein, um den das Volumen der größeren Kugel größer ist, als das der kleineren. Jetzt können wir mal die Formeln der Volumina einsetzen.

Damit erhalten wir dann:

$\begin{eqnarray*} \frac{4}{3} \pi \cdot (3r)^3 = c\cdot (\frac{4}{3}\pi\cdot r^3) \end{eqnarray*}$

Das kann man jetzt nach $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ umstellen. Dafür teilen wir erstmal beide Seiten durch $\begin{eqnarray*} \frac{4}{3}\pi \end{eqnarray*}$ . Dann bekommen wir:

$\begin{eqnarray*} (3r)^3 = c\cdot r^3 \end{eqnarray*}$ . Jetzt kommen die Potenzgesetze ins Spiel. Es gilt ja $\begin{eqnarray*} (3\cdot r)^3 = 3^3\cdot r^3 = 27\cdot r^3 \end{eqnarray*}$ . Setzen wir das nun auch noch ein, bekommen wir

$\begin{eqnarray*} 27\cdot r^3 = c\cdot r^3 \end{eqnarray*}$ .

Hier können wir jetzt noch durch $\begin{eqnarray*} r^3 \end{eqnarray*}$ teilen und bekommen damit direkt $\begin{eqnarray*} c=27 \end{eqnarray*}$ .

OK?

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