Bruchgleichungen

27.08.2013, 00:53

hirezy

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Bruchgleichungen

Ich habe immer wieder Probleme bei Bruchgleichungen..

Ich habe jetzt 2 Beispiele gerechnet, aber beide falsch.
Zur ersten:
$\begin{eqnarray*} \frac{2}{x-1} + \frac{3}{x-2} = \frac{5}{x-3} <br /> \end{eqnarray*}$
Als gemeinsamen Nenner habe ich (x-1)(x-2)(x-3).
Ich habe die Zähler erweitert und bin zu diesem Ergebnis gekommen:
2x²-5x+6+3x²-4x+12 = 5x²-5x+10
Hier hab ich umgeformt:
-4x=-8 | /-4
x=2

Ist aber das falsche Ergebnis..

Dann noch zur Zweiten:
$\begin{eqnarray*} \frac{45}{x-2} - \frac{24}{x+1} = \frac{12(x+13)}{(x+1)(x-2)} \end{eqnarray*}$
Gemeinsamer Nenner hab ich hier:
(x-2)(x+1)
Hier hab ich so gerechnet:
45(x+1)-24(x-2)=12(x+13)
9x=159

Ist aber auch falsch.

Meine Vermutung ist, dass die gemeinsamen Nenner falsch sind..
Zuvor hab ich ein Beispiel mit den Nennern (x-3) (x+3) (x²-9) problemlos lösen können
(x-3)(x+3) als gemeinsamen Nenner wegen der Binomischer Formel) und dann halt
zu Ende gerechnet.

Also ich dachte immer, wenn der Term schon in einem anderen Nenner steht, muss
man ihn nur einmal in den gemeinsamen Nenner schreiben? (hier bei der 2.
Rechnung zu sehen)
Bei der ersten hab ich nicht mal nen Ansatz was falsch sein könnte

Vielleicht sieht jemand die Fehler und kann mir erklären was ich falsch gemacht habe.
Bei normalen (linearen / quadratischen) Gleichungen hab ich eigentlich keine Probleme, nur bei Bruchgleichungen hab ich meistens alles falsch.

MfG

27.08.2013, 01:35

Gast11022013

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Die Idee mit dem Hauptnenner ist korrekt.

Zitat:

2x²-5x+6+3x²-4x+12 = 5x²-5x+10

Hier sieht es für mich so aus als hättest du die Klammern falsch aufgelöst.

Du solltest folgendes erhalten haben:

$\begin{eqnarray*} 2(x^2-5x+6)+3(x^2-4x+12)=5(x^2-3x+2) \end{eqnarray*}$

Die Vorfaktoren sind mit jedem Summanden in der Klammer zu multiplizieren (Distributivgesetz). Außerdem scheinst du den Ausdruck auf der rechten Seiten der Gleichung falsch ausmultipliziert, oder Zusammengefasst haben.

Ebenso gilt es über einen Definitionsbereich nachzudenken.

Die zweite Aufgabe habe ich mir bisher nicht angesehen. Eins nach dem anderen.

27.08.2013, 01:58

hirezy

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Zitat:

Die zweite Aufgabe habe ich mir bisher nicht angesehen. Eins nach dem anderen.

Natürlich, habe sie nur schon vorab augeschrieben smile

smile

Also ich habe eigentlich das selbe erhalten, außer hier (ist falsch habe ich grad gemerkt..)
+ 3(x²-4x+4)

Aber müsste es nicht eigentlich
3(x²-4x+3)
und nicht
3(x²-4x+12)
sein?

Ich versuchs mal mit beiden und schaue ob ich das richtige Ergebnis rausbekomm smile

smile

Ok, habe jetzt mit 3(x²-4x+3) das richtige Ergebnis rausbekommen. War wohl nur ein Rechenfehler.

Bei der Zweiten ist aber der Nenner falsch, oder?

27.08.2013, 02:18

hirezy

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Achso, wegen dem Definitionsbereich. Ganz habe ich das noch nicht verstanden, aber ich versuchs mal..

x-1=0
x=1

x-2=0
x=2

x-3=0
x=3

Also darf x nicht 1,2 oder 3 sein, oder? Wie stellt man das (auf einem Blatt Papier, nicht im Computer) richtig dar?

D=R {1,2,3}
So ungefähr?

27.08.2013, 02:36

Gast11022013

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Genau. Um den Definitionsbereich festzulegen, muss man alle Werte für x ausschließen, für die im Nenner eine Null stehen würde. Das hast du richtig erkennt. Beim aufschreiben hapert es dann jedoch.

Deine Schreibweise heißt in etwa, dass x eben diese Werte annehmen soll. Es ist aber genau umgekehrt.

x darf alle Werte der reellen Zahlen sein, außer der 1,2 und 3.

Aufschreiben sollte man das dann so können:

$\begin{eqnarray*} D=\{x\in\mathbb{R}\setminus\{1,2,3\}\} \end{eqnarray*}$

Der Querstrich \ wird als "ohne" gelesen. Die reellen Zahlen ohne 1, 2 und 3.

27.08.2013, 02:43

hirezy

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Ok Dankeschön smile

smile

Muss man das auch noch bei anderen Rechnungen machen als bei Bruchgleichungen?

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27.08.2013, 02:48

Gast11022013

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Den Definitionsbereich bestimmen muss man dann wenn Werte auftreten können für die eine Rechenoperation nicht definiert ist.

Bei Brüchen ist dies ebne der Fall, wenn im Nenner eine Null stehen würde, den die Division durch Null ist nicht definiert.

Bei einer Wurzel zum Beispiel würde man alles ausschließen was einen negativen Wert innerhalb der Wurzel bedeuten würde (jedenfalls solange man nur die reellen Zahlen betrachtet). Den aus negativen Zahlen kann ja nicht die Wurzel gezogen werden.

Es kann aber auch ganz andere Gründe haben, dass man einen Definitionsbereich bestimmen muss.
Zum Beispiel bei Anwendungsaufgaben. Da machen meistens negative Zahlen, die dann vielleicht Längen, oder Zeitangaben sein würden keinen Sinn und werden ausgeschlossen oder müssen ausgeschlossen werden.

Da kann es dann Fragestellungen geben wie zum Beispiel:

"Gebe einen sinnvollen Definitionsbereich an."

Oder ähnliches.

27.08.2013, 02:56

hirezy

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Ok dann dankeschön smile

smile

Zitat:

"Gebe einen sinnvollen Definitionsbereich an."

Hab ich bis jetzt noch nie gesehen, aber vielleicht kommts noch. ^^

Nochmal zur Zweiten:

wenn ich die Nenner
$\begin{eqnarray*} \frac{}{x-2}- \frac{}{x+1}= \frac{}{(x+1)(x-2)} \end{eqnarray*}$

habe, ist der Nenner
$\begin{eqnarray*} \frac{}{(x+1)(x-2)} \end{eqnarray*}$
dann falsch?

Man hat ja eigentlich alle Terme von der Ausgangsrechnung im Gemeinsamen Nenner..

27.08.2013, 02:58

Gast11022013

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Nein, dieser Hauptnenner ist nicht falsch. Er wäre genau richtig.

27.08.2013, 03:13

hirezy

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Ok, dann liegt es wohl doch meistens an Rechenfehlern.. Ist einerseits ja gut, weil man die mit mehr Konzentration lösen kann ^^

Rechnet man genau gleich, wenn man zum Beispiel bei einem Nenner eine Potenz hat?

Bsp. $\begin{eqnarray*} \frac{}{2x+4}- \frac{}{6}= \frac{}{4-x²} + \frac{}{6-3x} \end{eqnarray*}$

Ist hier der richtige gemeinsame Nenner:

$\begin{eqnarray*} \frac{}{(2x+4)(6)(4-x²)(6-3x)} \end{eqnarray*}$ ?

Und noch ne Frage^^

$\begin{eqnarray*} \frac{}{2x+1} + \frac{}{x} = \frac{}{4x+2} \end{eqnarray*}$

Gibt es hier eine Art "Sonderregelung" (weil ja 4x+2 genau das Doppelte ist wie 2x+1) oder ist es auch hier immer das selbe Vorgehen?

27.08.2013, 03:20

Gast11022013

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Zitat:

Gibt es hier eine Art "Sonderregelung" (weil ja 4x+2 genau das Doppelte ist wie 2x+1) oder ist es auch hier immer das selbe Vorgehen?

Du kannst natürlich immer das selbe Vorgehen machen indem du Stumpf jeden Bruch mit den Nennern der anderen Brüche erweiterst. Das ist aber nicht immer ratsam so wie in diesem Fall.

Oft lassen sich bessere Hauptnenner finden wie bei deiner zweiten Bruchgleichung erkannt.

4x+2=2(2x+1)

Wir müssen also nicht

(2x+1)(4x+1)(x)=...

rechnen, sondern können einfach

2(2x+1)(x)

Als Hauptnenner verwenden. Das ist dann sehr viel angenehmer zum rechnen.

Für dein erstes Beispiel:

Dieser Hauptnenner wäre zwar richtig, aber ist nicht optimal.
Vergleiche zum Beispiel mal

2x+4

und

6-3x

was fällt dir auf, wenn du mal geschickt ausklammerst?

Und auch bei

4-x^2

sollte etwas auffallen.
Denke an die binomischen Formeln.

Wie lauten die drei binomischen Formeln, den die gucken bei Bruchgleichungen besonders gerne um die Ecke. Besonders die dritte.

27.08.2013, 03:30

hirezy

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Ok habe bei der Ersten jetzt so gerechnet:
Für 4-x² ist die binomische Formel ja
(2-x)(2+x)

Dann
2x+4
ausgeklammert: 2(x+2)

und
6-3x
ausgeklammert: 2(x-2)

Muss man dann 3(x-2) 3(x+2) schreiben? Oder nur 2(x-2) und 2(x+2) ?

(Die 6 hab ich nicht vergessen, nur hier nicht hingeschrieben)
Meine Vermutung ist 2(x-2) 2(x+2)

27.08.2013, 03:40

Gast11022013

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Die dritte binomische Formel richtig erkannt. Gut.

Zitat:

Meine Vermutung ist 2(x-2) 2(x+2)

Deine Vermutung kommt schon ganz gut hin, aber achte noch auf die Vorfaktoren und natürlich auch die 6, ist mehr oder weniger auch als Hinweis zu sehen.

27.08.2013, 03:42

hirezy

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Also doch 3(x-2) 3(x+2)? Oder was ist mit Vorfaktoren gemeint?^^

27.08.2013, 03:48

Gast11022013

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Hast du da einen Tippfehler begangen? Meinst du wirklich 3 und 3 als Vorfaktoren?
Bedenke, dass wir ohnehin irgendwie die 6 im Nenner als Faktor brauchen.

27.08.2013, 04:03

hirezy

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Also ist der gesamte gemeinsame Nenner so : 2(x-2) 2(x+2)(6) ?

27.08.2013, 04:06

Gast11022013

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(x-2)(x+2)6

Wäre der einfachste gemeinsame Nenner.

Du hast ja auch die Faktoren 2(x+2) und 3(2-x). Ich verstehe nicht wieso du da eine 2 hinmogelst. Dies ergibt die 6 bereits, wegen 2*3.

27.08.2013, 04:10

hirezy

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Oh, ich habe einfach den gesamten Term vom Ausklammer genommen ^^

Ok dann hab ichs ja jetzt! smile

smile

Vielen Dank!

27.08.2013, 04:20

Gast11022013

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Gern geschehen.

27.08.2013, 18:08

hirezy

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Nochmal ne Frage..

Also wenn ich bei einen Nenner faktorisieren kann, muss ich dann das Ganze nehmen oder das in der Klammer steht?

zum Beispiel hier:

Ich habe die Nenner:
2x+1
x
4x+2

Beim Letzten kann man ja ausklammern: 2(2x+1)

Wie lautet dann hier der gemeinsame Nenner?

(2x+1)(x) ?
oder reicht sogar (2x+1) ?

27.08.2013, 18:19

Gast11022013

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Nein, der gemeinsame Nenner wäre

2(2x+1)x

Du musst ja zusehen, dass sich der Hauptnenner aus den Bestandteilen der drei Nenner zusammensetzt.

Wir haben die drei Komponenten

2x+1

2(2x+1)

und x

Das heißt um von den ersten Nenner auf die Form des zweiten Nenners zu kommen, müssen wir ihn mit 2 erweitern. Um dann noch auf die Form des dritten Nenners zu kommen muss noch mit x erweitert werden und der dritte Nenner dann schließlich mit 2(2x+1)

Muss jetzt übrigens erstmal weg. Auf weitere Fragen kann ich etwa in einer Stunde oder vielleicht später antworten.
Ansonsten kann auch jemand einspringen.

27.08.2013, 18:22

hirezy

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Zitat:

Muss jetzt übrigens erstmal weg. Auf weitere Fragen kann ich etwa in einer Stunde oder vielleicht später antworten.

Jo ist kein Problem smile

smile

Und Danke für die Hilfe! smile

smile

27.08.2013, 18:25

Gast11022013

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Sind den noch Fragen offen?

Bin nun aber auch weg.

27.08.2013, 18:28

hirezy

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Joa eine kurze Frage^^

Bemi ersten Bruch hat man ja im Zähler nur x.
Muss ich dann mit (2x+1)(x) erweitern oder einfach mit (2)(x) ?

27.08.2013, 18:58

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

Du musst das erweitern was noch fehlt.

Der Hauptnenner ist ja

2(2x+1)x

Das x ist bereits vorhanden. Es fehlt also noch 2(2x+1) und mit diesem Faktor wäre zu erweitern.

27.08.2013, 20:23

hirezy

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Ok ich habe jetzt aber nur 1 Ergebnis rausbekommen.. (in der Wurzel der abc-Formel war eine negative Zahl)
Laut Lösung müssten aber zwei Zahlen rauskommen.

Habe so gerechnet:

2(2x+1)(x) +2(2x+1)(x) = 2(2x+1)(x)

Habe ich falsch erweitert?

27.08.2013, 20:28

Gast11022013

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Ob du falsch erweitert hast kann ich erst beurteilen, wenn du mir auch den Zähler zeigst.

27.08.2013, 20:36

hirezy

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Ohh, falsche Zeile abgeschrieben ^^

Also:
x(2x+1)(x) + 2[2(2x+1)] = 2(x)

27.08.2013, 21:09

Gast11022013

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Wie lauten die original Brüche zu der Aufgabe?

27.08.2013, 21:14

hirezy

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$\begin{eqnarray*} \frac{x}{2x+1} + \frac{2}{x} = \frac{2}{4x+2} \end{eqnarray*}$

Dann der Hauptnenner: 2(2x+1)x

Mit dem Erweitern/ Hauptnenner finden hab ich noch viele Probleme

27.08.2013, 21:16

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

Nun musst du jeden Bruch so erweitern, dass du auf den Hauptnenner kommst.
Wie erweiterst du?

27.08.2013, 21:19

hirezy

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Naja, zb. beim ersten Bruch so:

Ich habe ja im Nenner stehen 2x+1. Dann fehlt ja noch ein (2x+1) und x.
Also habe ich beim Ersten Bruch im Zähler: x(2x+1)(x)
Mit (2x+1) habe ich erweitert, weil ja im Hauptnenner 2(2x+1) steht.

27.08.2013, 21:36

Gast11022013

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$\begin{eqnarray*} 2(2x+1)\neq (2x+1)^2 \end{eqnarray*}$

Und $\begin{eqnarray*} (2x+1)(2x+1)=(2x+1)^2 \end{eqnarray*}$

Du musst hier ja nur mit 2 erweitern um auf die 2 im Nenner zu kommen.

27.08.2013, 22:00

hirezy

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$\begin{eqnarray*} \frac{x(2)(x)}{2(2x+1)(x)} + \frac{2[2(2x+1)]}{2(2x+1)(x)} = \frac{2(x)}{2(2x+1)(x)} \end{eqnarray*}$

Ist das so jetzt richtig?

27.08.2013, 22:05

Gast11022013

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Ja, das sollte so jetzt stimmen.

27.08.2013, 22:13

hirezy

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Sind die Ergebnisse (-2,-1) auch richtig?
Weil bei der Lösung sind als Ergebis (-2;1) angegeben..

27.08.2013, 22:27

Gast11022013

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Ja die Lösungen -2 und -1 sind richtig.

Lösungsbüchern sind nicht zu trauen.

27.08.2013, 22:29

hirezy

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Ok, Vielen Dank für die mittlerweile 3 Seiten Hilfe! smile

smile

27.08.2013, 22:33

Gast11022013

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Gern geschehen.

Wink

Wink

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