Gleichungen höheren Grades (3.) |
| 27.08.2013, 02:20 | hirezy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Gleichungen höheren Grades (3.) Also als erste Gleichung müsste ich diese lösen: x³-5x².2x+24=0 Man muss ja Drei Ergebnisse raus bekommen, wie soll man das machen? Ich habe leider auch hier keinen Ansatz für diese Rechnungen. (Wenn man die Polynomdivision dafür braucht, würde ich sie erstmal auslassen und dann später nochmal zu diesen Gleichungen kommen, wenn ich die Polynomdivision beherrsche) |
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| 27.08.2013, 02:39 | Gast11022013 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Was bedeutet der Punkt zwischen
? Wahrscheinlich ein Minus. Ansonsten, ja, hier benötigt man eine Polynomdivision. Es gibt zwar auch Lösungsformeln für solche Gleichungen, aber sowas wird normalerweise nicht in der Schule unterrichtet. Polynomdivison sollte hier das gewünschte Verfahren sein. |
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| 27.08.2013, 02:46 | hirezy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ok, werde die dann wohl auslassen, da ich grad bei Gleichungen bin und die Polynomdivision nicht kann. Vielleicht mache ich sie morgen noch aber ist eher unwahrscheinlich, da ich noch viele andere Rechnungen habe. Trotzdem Danke 
Jap, sollte ein Punkt sein. |
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| 27.08.2013, 02:50 | Gast11022013 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
"Punkt" im Sinne von Multiplikationszeichen? Dann könntest du die Gleichung lösen. |
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| 27.08.2013, 02:51 | hirezy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Oh man, tschuldigung, meinte natürlich minus 
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| 27.08.2013, 02:54 | Gast11022013 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Okay.
Die Polynomdivision ist aber auch eigentlich gar nicht so schwer wie du vielleicht denkst. Sie ist höchstens etwas Gewöhnungsbedürftig aus und mehr eine Frage der Konzentration, damit man keinen Vorzeichenfehler einbaut. Dieses Verfahren kennst du nämlich wahrscheinlich schon aus der vierten Klasse in der Grundschule. Schriftliche Division funktioniert im Prinzip wie eine Polynomdivision. |
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| 27.08.2013, 03:04 | hirezy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hmm, ok ^^ Ich habe mir die schon mal angeschaut, aber habe einige Schritte nicht verstanden. http://www.frustfrei-lernen.de/mathemati...omdivision.html Auf dieser Seite ist ja eine Beispielrechnung. Ich verstehe allerdings nicht mal den ersten Rechenschritt .. 
Eine Rechnung von meinen Aufgaben wäre diese hier: (2x³-9x²+17x-12) / ( (2x-3)= ( der / strich soll das geteilt Zeichen darstellen) Der erste Schritt wird wohl (2x³-9x²) / (2x-3)= x²-3x² sein oder? Ist das so richtig? Wie rechnet man, falls es richtig sein sollte, weiter? |
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| 27.08.2013, 03:13 | Gast11022013 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Bei der Polynomdivison geht man Summand für Summand vor. Du teilst bei jedoch immer nur durch den ersten Summanden der zweiten Klammer, also durch die 2x (2x^3-9x^2+17x-12)/(2x-3)=... Also zu erst 2x^3/2x=x^2 Jetzt nimmst du das Ergebnis, die x² und multiplizierst es mit der Klammer durch die dividiert wird. x²(2x-3)=2x^3-3x² Dieses Zwischenergebnis subtrahierst du nun wieder von dem linken Term, also (2x^3-9x^2+17x-12)-(2x^3-3x^2)=-6x^2+17x-12 Aufschreiben tut man das jedoch alles etwas kompakter. Eine Zwischenrechnung macht man meistens gar nicht, oder bloß am Anfang wenn das Verfahren noch nicht so ganz sitzt. So geht man dann weiter vor. Die Polynomdivision sind eigentlich immer diese drei Schritte: 1. Nimm den ersten Summanden des linken Terms und teile ihn durch den ersten Summanden des rechten Terms 2. Nimm das Ergebnis aus Schritt 1. und multipliziere mit dem rechten Term. 3. Nimm das Ergebnis aus Schritt 2. und subtrahiere von dem linken Term. Danach hast du eine neue "Nummer eins" und fängst wieder bei Schritt 1. an. |
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| 27.08.2013, 03:20 | hirezy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Erstmal Danke für die ausführliche Beschreibung!
Also das habe ich verstanden, nur was ich mit diesem Ergebnis hier mache ist mir nicht ganz klar:
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| 27.08.2013, 03:25 | Gast11022013 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wie oben beschrieben. Dieses Ergebnis, was du nach Ausführung der Schritte 1-3 erhältst ist deine Grundlage für die kommenden 3 Schritte. Du hast durch die erste Division den Ausdruck (2x^3-9x^2+17x-12)/(2x-3)=... Auf (-6x^2+17x-12)/(2x-3)=x^2 reduziert. Pro Anwendung dieser 3 Schritte gewinnst du dann einen Summanden mehr im späterem Ergebnis. Die Polynomdivision dauert auch nie länger als die höchste Potenz des x, in diesem Fall 3. Du musst also die 3 Schritte höchsten 3 mal anwenden um auf das Ergebnis zu kommen. Danach sollte nämlich nach der Subtraktion eine komplette Null entstehen, es fällt also alles weg und wir sind fertig, weil nichts mehr zu berechnen ist. Brauch es bei dir mehr Schritte, hast du einen Rechenfehler begangen. Weißt du eigentlich wie man auf einen geeigneten Divisior kommt, wie hier auf die (2x-3)? |
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| 27.08.2013, 03:34 | hirezy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Achso, jetzt hab ichs glaub ich verstanden 
Leider nicht, aber ich glaube bei meinen Rechnungen steht immer schon der (geeignete) Divisor. Braucht man das dann bei den Gleichungen oder? |
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| 27.08.2013, 03:46 | Gast11022013 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ja diesen Divisor braucht man. Es klappt natürlich nicht mit jedem x-beliebigem Divisor. x³-5x²-2x+24=0 Ein geeigneter Divisor muss diese Gleichung lösen. Das heißt wenn du ihn einsetzt muss die Null rauskommen Das ist auch der Nachteil einer Polynomdivision. Um sie durchzuführen muss man eine Lösung bereits kennen und diese wird meistens "geraten". Das Raten kann man jedoch optimieren. Um effizient eine Nullstelle zu finden, überprüfen wir die Teiler des Absolutgliedes. Das ist die Konstante in dem Term, also die 24, weil sie nicht von der Variablen x abhängt. Und von der 24 werden alle ganzzahligen Teiler untersucht. Das wären die 1,-1,2,-2,3,-3,4,-4,6,-6,8,-8,12,-12,24,-24 Das mag jetzt recht mächtig aussehen, aber es vereinfacht die Suche nach einer Nullstelle erheblich. Hat man eine Nullstelle so gefunden, dann ist es noch wichtig, dass die Nullstelle später im Divisor mit umgedrehtem Vorzeichen auftaucht. Dazu würde ich dann später noch was sagen, wenn du eine Nullstelle gefunden hast. Probiere mal die Nullstelle zu finden, setzte also der Reihe nach die oben genannten Werte ein. |
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| 27.08.2013, 03:58 | hirezy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Also für x alle Zahlen die da stehen (1,-1,2,-2,3,-3,4,-4,6,-6,8,-8,12,-12,24,-24) einsetzen? Also fürs 1 wäre es dann: 1-5-2+24=0 16=0 So? |
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| 27.08.2013, 04:04 | Gast11022013 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Genau. Aber du musst nur so lange Zahlen einsetzen, bis du eine Null erhältst. Dann bist du erstmal fertig. Achte, gerade wenn du negative Zahlen einsetzt, auf die notwendige Klammerung. Am besten rechnest du aber erstmal im Kopf. Geht schneller. |
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| 27.08.2013, 04:08 | hirezy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Also ich hab die Nullstelle -2 rausbekommen^^ Und wie/wo muss ich die jetzt einsetzen? |
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| 27.08.2013, 04:19 | Gast11022013 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Genau. -2 ist eine Nullstelle der Funktion und bildet damit die Grundlage für den Divisor der Polynomdivision. Allgemein könnte man vielleicht sagen, dass der Divisor der Polynomdivision diese Form hat: (x-a) wobei a die Nullstelle ist, welche du gerade geraten hast. Demnach würden wir nun folgendes berechnen: Dieser Vorzeichenwechsel kommt dadurch zustande, dass wir eine Nullstelle abspalten wollen. Wir wollen also naiv gesagt "durch Null teilen". Gerade nachdem was du aus den anderen Threads vorhin mitgenommen hast mag dir das recht paradox erscheinen. Dieser lineare Faktor x+2 hat ja ebenfalls die Nullstelle x+2=0 x=-2 Und darum geht es bei diesem Vorzeichenwechsel. Der obige Term lässt sich als Produkt solcher linear Faktoren darstellen und mithilfe der Polynomdivision spalten wir einen solchen ab und reduzieren damit den Grad. Dies hat das Ziel eine einfachere Methode zur Lösung dieser Gleichung zu verwenden, wie die pq-Formel, und die restlichen Nullstellen zu finden. Als Beispiel: Du siehst also, dass sich dieser Term, eigentlich sehr schön darstellen lässt. Löst man nun diese Gleichung Versucht man im Prinzip die obigen drei linear Faktoren abzuspalten, bzw. einen davon um die pq-Formel anzuwenden. Würde dann in etwa so aussehen Nach der Polynomdivision hat man dann das Ergebnis, aber eigentlich steht dann da nur noch bloß eben ausmultipliziert. |
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| 27.08.2013, 04:27 | hirezy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ok habs jetzt so ca. verstanden
Sehr großen Dank für die ausführlichen Beschreibungen hier!
Ich werd jetzt aber trotzdem schlafen gehen und morgen weiter üben 
Gute Nacht! 
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| 27.08.2013, 04:32 | Gast11022013 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Gern geschehen. Ja, wenn man jemanden versucht die Polynomdivision übers Internet zu erklären, dann ufert das textmäßig immer etwas aus. Gute Nacht. |
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