Anzahl der Elemente in Z[i]/(i+1)

27.08.2013, 08:45

steviehawk

Anzahl der Elemente in Z[i]/(i+1)

Meine Frage:
Hallo Leute,

ich möchte in einer Aufgabe bestimmen, wie viele Elemente $\begin{eqnarray*} \mathbb Z[i] /(i+1) \end{eqnarray*}$ hat.

Meine Ideen:
Ich habe ehrlich gesagt nicht so wirklich Ahnung, wie ich das machen könnte.

Ich habe versucht mich an $\begin{eqnarray*} \mathbb Z / n \mathbb Z \end{eqnarray*}$ zu erinnern. Also Habe ich mir mal ein Element aus $\begin{eqnarray*} \mathbb Z[i] \end{eqnarray*}$ angeschaut und dann durch das Ideal geteilt.

so habe ich: $\begin{eqnarray*} \frac{a+b + (b-a)i}{2} \end{eqnarray*}$ erhalten, also haben die Elemente diese Form, woher weiß ich denn nun wie viele es davon gibt?

Danke für die Hilfe

27.08.2013, 13:22

watcher

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Hallo,

$\begin{eqnarray*} \frac{a+b + (b-a)i}{2} \end{eqnarray*}$ ist ein Element von $\begin{eqnarray*} \mathbb Q[i] \backslash \mathbb Z[i] \end{eqnarray*}$
aber keines des Quotientenrings, diese sind von der Form a+bi +(i+1) wobei mit (i+1) das von 1+i erzeugte Ideal bezeichnet wird.

Man könnte hier z.B. ausnutzen, dass $\begin{eqnarray*} \mathbb Z [i] \end{eqnarray*}$ ein eukl. Ring ist.:
Zu jeder Äquivalenzklasse $\begin{eqnarray*} A \in \mathbb Z[i] /(i+1) \end{eqnarray*}$ existiert ein Repräsentant $\begin{eqnarray*} a\in \mathbb Z[i] \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} N(a)<N(i+1) \end{eqnarray*}$ .
Da es nur sehr wenige solche a gibt kann man diese leicht auf Äquivalenz prüfen.

28.08.2013, 10:11

steviehawk

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Hallo Watcher,

okay mit der Norm sehe ich nun auch eine analogie zu $\begin{eqnarray*} \mathbb Z[X] /(x^2+1) \end{eqnarray*}$ Hier habe ich ja auch nur noch Polynome vom Grad kleiner 2.

zurück:

Es gilt ja: $\begin{eqnarray*} N(i+1) = 2 \end{eqnarray*}$ also brauch ich alle Elemente deren Norm 1 ist. Das sind gerade die Einheiten. Also $\begin{eqnarray*} \pm1 , \pm i \end{eqnarray*}$

wobei jetzt wahrscheinlich $\begin{eqnarray*} \pm i \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \pm 1 \end{eqnarray*}$ in der selben Äquivalenklases liegen, deshalb habe ich nur $\begin{eqnarray*} i,1 \end{eqnarray*}$ also 2 Elemente.

Versuch ich es gleich mal mit dem nächsten Beispiel:

$\begin{eqnarray*} | \mathbb Z[X]/ (2-3i) | = ? \end{eqnarray*}$

Es gilt: $\begin{eqnarray*} N(2-3i) = 2^2 + 3^2 = 13 \end{eqnarray*}$

Jetzt brauch ich alle Zahlen, deren Norm kleiner ist als 13.

Da habe ich auch 13 Stück, nämlich: $\begin{eqnarray*} 1,2,3,...,12,i \end{eqnarray*}$

Ist das jetzt immer so, dass ich gerade die Norm des Ideals der Mächtigkeit des Quotientenrings entspricht?

Die Null müsste doch eigentlich auch noch rein oder?

28.08.2013, 11:56

watcher

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Zitat:

okay mit der Norm sehe ich nun auch eine analogie zu $\begin{eqnarray*} \mathbb Z[X] /(x^2+1) \end{eqnarray*}$ Hier habe ich ja auch nur noch Polynome vom Grad kleiner 2.

Keine Ahnung welche Analogie du hier siehst.
Ich seh nur $\begin{eqnarray*} \mathbb Z[X] /(x^2+1) \cong \mathbb Z[i] \end{eqnarray*}$

Zitat:

brauch ich alle Elemente deren Norm 1 ist.

Was ist mit Norm 0?

Zitat:

wobei jetzt wahrscheinlich $\begin{eqnarray*} \pm i \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \pm 1 \end{eqnarray*}$ i

Nicht rumraten. Beweisen.
Mathematik ist nicht das Aufstellen von Behauptungen, sondern das Beweisen dieser.

Zitat:

deshalb habe ich nur $\begin{eqnarray*} i,1 \end{eqnarray*}$ also 2 Elemente.

Man sollte auch schauen ob diese Elemente äquivalent sind.

Zitat:

Jetzt brauch ich alle Zahlen, deren Norm kleiner ist als 13. Da habe ich auch 13 Stück, nämlich: $\begin{eqnarray*} 1,2,3,...,12,i \end{eqnarray*}$

Schon wieder wildes Rumraten:
Von denen 13 aufgelisteten Elementen haben ganze 4 eine Norm kleiner als 13.
Und was führt dich zu der Annahme es gäbe genau 13 solcher Elemente?
Dein falsches Beispiel von oben?
Du kannst doch nicht von einem Bsp. auf ein generelle Regel schließen ohne Beweis.

29.08.2013, 13:09

steviehawk

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Die Analgie bezog sich auf das Verwenden einer Normfunktion - aber egal!

Ja das mit der Norm Null habe ich verpennt, deshalb ist die 0 sicher mit drin. Ist ja auch das einzige Element mit Norm Null hier.

Habe auch festgestellt, dass $\begin{eqnarray*} i,1 \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} \pm 1 , \pm i \end{eqnarray*}$ in der selben Äquivalenzklasse liegen, da sie selben Rest ergeben (bis auf Multiplikation mit einer Einheit)

Damit habe ich 2 Elemente, diese sind $\begin{eqnarray*} 0,1 \end{eqnarray*}$

Beim zweiten habe ich die Norm falsch angewandt.

30.08.2013, 11:15

Leopold

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Es sei $\begin{eqnarray*} \overline{x} \end{eqnarray*}$ die Restklasse modulo $\begin{eqnarray*} 2 \end{eqnarray*}$ , in der $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ liegt, und $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}_2 = \left\{ \overline{0} , \overline{1} \right\} \end{eqnarray*}$ der Körper mit zwei Elementen. Für $\begin{eqnarray*} \zeta = a + \operatorname{i} b \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a,b \in \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ setze

$\begin{eqnarray*} \varphi(\zeta) = \overline{a+b} \end{eqnarray*}$

Zeige, daß dadurch ein Epimorphismus

$\begin{eqnarray*} \varphi: \ \mathbb{Z}[\operatorname{i}] \to \mathbb{Z}_2 \end{eqnarray*}$

definiert wird, dessen Kern gerade das von $\begin{eqnarray*} 1 + \operatorname{i} \end{eqnarray*}$ erzeugte Ideal ist.

Die zweite Aufgabe kann man ähnlich lösen:

$\begin{eqnarray*} \varphi: \ \mathbb{Z}[\operatorname{i}] \to \mathbb{Z}_{13} \, , \ \varphi(\zeta) = \overline{-12a + 5b} \end{eqnarray*}$

wobei die Überstreichung jetzt die Restklassenbildung modulo $\begin{eqnarray*} 13 \end{eqnarray*}$ angibt.

Vielleicht gibt es auch abstrakte Sätze, die die Isomorphien auf kurzem Weg liefern. Dazu kenne ich mich aber zu wenig in der Zahlentheorie und Algebra aus. Sowohl $\begin{eqnarray*} 1 + \operatorname{i} \end{eqnarray*}$ als auch $\begin{eqnarray*} 2 - 3 \operatorname{i} \end{eqnarray*}$ sind jedenfalls Primelemente von $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}[\operatorname{i}] \end{eqnarray*}$ , wie man über die Normen schnell sieht. Daher sind die von diesen Elementen erzeugten Ideale Primideale, also auch maximal, da $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}[\operatorname{i}] \end{eqnarray*}$ ein Hauptidealring ist. Die Faktorisierungen liefern also Körper.

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