lgs und matrix

27.08.2013, 09:48	Ascareth	Auf diesen Beitrag antworten »
lgs und matrix Hallo, ich habe hier dieses LGS: -x + 8y + 3z = $\begin{eqnarray} \color{blue}2\color{black} \end{eqnarray}$ 2x + 4y - z = $\begin{eqnarray} \color{blue}1\color{black} \end{eqnarray}$ -2x + y + 2z = $\begin{eqnarray} \color{blue}-1\color{black} \end{eqnarray}$ Ich wollte das eigentlich über Determinanten lösen, aber entweder ich mache da einen Fehler, oder es lässt sich so nicht lösen: $\begin{eqnarray} D = \begin{pmatrix}<br />-1 & 8 & 3 \\<br />2 & 4 & -1 \\<br />-2 & 1 & 2 \\<br />\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Mit dem Satz von Sarrus wird dann daraus die Nennerdeterminante (Hauptdiagonalenproduktsumme - Nebendiagonalenproduktsumme: $\begin{eqnarray} D = \begin{pmatrix}<br />-1 & 8 & 3 \\<br />2 & 4 & -1 \\<br />-2 & 1 & 2 \\<br />\end{pmatrix}\begin{pmatrix}<br />-1 & 8 \\<br />2 & 4 \\<br />-2 & 1 \\<br />\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} D = -1 \cdot 4 \cdot 2 + 8 \cdot (-1) \cdot (-2) + 3 \cdot 2 \cdot 1 \color{blue}-\color{black} (3 \cdot 4 \cdot (-2) + (-1) \cdot (-1) \cdot 1 + 8 \cdot 2 \cdot 2) = 14 - 9 = 5 \end{eqnarray}$ Die Zählerdeterminanten berechne ich genauso. Natürlich mit dem richtigen "Einschub": $\begin{eqnarray} D_1 = \begin{pmatrix}<br />\color{blue}2\color{black} & 8 & 3 \\<br />\color{blue}1\color{black} & 4 & -1 \\<br />\color{blue}-1\color{black} & 1 & 2 \\<br />\end{pmatrix}\begin{pmatrix}<br />\color{blue}2\color{black} & 8 \\<br />\color{blue}1\color{black} & 4 \\<br />\color{blue}-1\color{black} & 1 \\<br />\end{pmatrix} = -11 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} D_2 = \begin{pmatrix}<br />-1 & \color{blue}2\color{black} & 3 \\<br />2 & \color{blue}1\color{black} & -1 \\<br />-2 & \color{blue}-1\color{black} & 2 \\<br />\end{pmatrix}\begin{pmatrix}<br />-1 & \color{blue}2\color{black} \\<br />2 & \color{blue}1\color{black} \\<br />-2 & \color{blue}-1\color{black} \\<br />\end{pmatrix} = 9 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} D = \begin{pmatrix}<br />-1 & 8 & \color{blue}2\color{black} \\<br />2 & 4 & \color{blue}1\color{black} \\<br />-2 & 1 & \color{blue}-1\color{black} \\<br />\end{pmatrix}\begin{pmatrix}<br />-1 & 8 \\<br />2 & 4 \\<br />-2 & 1 \\<br />\end{pmatrix} = -7 \end{eqnarray}$ Dann einfach auflösen nach: $\begin{eqnarray} x = \frac{D_1}{D} = \frac{-11}{5} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y = \frac{D_2}{D} = \frac{9}{5} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} z = \frac{D_3}{D}= \frac{-7}{5} \end{eqnarray}$ ... Ist aber leider falsch! Aber warum? Habe ich mich da bloß verrechnet, oder geht das so einfach nicht? Gruß, Asca
27.08.2013, 10:25	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Lösungsweg ist richtig, D auch, aber die D1, D2, D3 sind allesamt falsch. Sie müssen 25, -5 und 25 betragen. Du kannst übrigens die Determinanten leichter mit der Zerlegung in Unterdeterminanten berechnen (Entwicklung nach den Elementen einer Zeile oder Spalte). mY+
27.08.2013, 12:26	Ascareth	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank für deine Hilfe! Zu den Unterdeterminanten habe ich das hier gefunden: http://www.mathe-online.at/lernpfade/Mat...ngen/?kapitel=5 Das scheint mir jetzt auf den ersten Blick allerdings noch komplizierter zu sein als diese Sarrus-Regel. Oder wie meinst du das mit den Unterdeterminanten?
27.08.2013, 21:18	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Eine i,k-Unterdeterminante einer n,n - Determinante mit $\begin{eqnarray} n > 2 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} i, k \leq n \end{eqnarray}$ entsteht, wenn man die i-te Zeile und die k-te Spalte streicht. Die Unterdeterminante hat dann n-1 Zeilen und n-1 Spalten. Entwicklungssatz nach Laplace --> http://statistik.wu-wien.ac.at/~leydold/MOK/HTML/node49.html $\begin{eqnarray} D = \begin{vmatrix} -1 & 8 & 3 \\ 2 & 4 & -1 \\ -2 & 1 & 2 \end{vmatrix} = (-1) \cdot \begin{vmatrix} 4 & -1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} + (-2) \cdot \begin{vmatrix} 8 & 3 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} + (-2) \cdot \begin{vmatrix} 8 & 3 \\ 4 & -1 \end{vmatrix} \end{eqnarray}$ [Entwicklung nach den Elementen der 1. Spalte; bei jenem in der zweiten Zeile kehrt sich das Vorzeichen um. Mit Laplace können auch höherreihige Determinanten problemlos berechnet werden.] Die zweireihigen Determinanten kann man im Kopf berechnen, auch die Produkte und fertig ist es. Sarrus ist zwar auch nicht schlecht, aber da hast du offensichtlich mit der Berechnung Probleme. mY+

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