Verständnis Zentraler Grenzwertsatz

27.08.2013, 11:27	lebronjames	Auf diesen Beitrag antworten »
Verständnis Zentraler Grenzwertsatz Hi, kann man den zentralen Grenzwertsatz wie folgt erklären? Angenommen ich würfele mit einem Würfel: 1x, dann kann als Ergebnis bzw. Mittelwert folglich 1-6 rauskommen je öfter ich nun würfele 2x . . . 10x etc. umso mehr wird sich die jeweilige Stichprobe dem Erwartungswert 3,5 annähern. Daraus folgt, dass je größer n wird umso mehr nähert sich meine Stichprobe einer Normalverteilung an Wäre diese Erklärung schlüssig?
27.08.2013, 13:02	Kasen75	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, der zentrale Grenzwertsatz besagt , dass bei einer Folge von unabhängigen und identisch verteilten Zufallsvariablen die Verteilungsfunktion gegen die Normalverteilung konvergiert, wenn u.a. $\begin{eqnarray} n \to \infty \end{eqnarray}$ Bei dir ist aber n=1. Du hast nur einen Würfel und somit nur eine Zufallsvariable. Wenn du aber mit 3 Würfeln (3 Zufallsvariablen) würfelst, gibt es 16 mögliche Ergebnisse. Die Verteilung der möglichen Ergebnisse geht so ganz langsam in Richtung der Normalverteilung. Auf jeden Fall hat diese Wahrscheinlichkeitsfunktion einen Gipfel und sie ist symmetrisch. Mit je mehr Würfeln du würfelst, um so mehr geht es in Richtung Normalverteilung. Was du meinst ist das Gesetz der großen Zahlen. Je mehr Stichproben man zieht, desto mehr nähert sich der Mittelwert der Stichproben dem Erwartungswert an. Das wäre bei 1000-mal würfeln in der Tat ca. 3.5, wenn man mit einem Würfel würfelt. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Ereignisse 1-6 ist weiterhin die Gleichverteilung. Grüße.
27.08.2013, 13:37	lebronjames	Auf diesen Beitrag antworten »
danke!
27.08.2013, 18:19	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
die Voraussetzungen zum zentralen Grenzwertsatz sind sogar noch schwächer: Die Zufallsvariablen $\begin{eqnarray} X_i \end{eqnarray}$ brauchen nicht identisch Verteilt sein, d.h man könnte auch Reisnagel, Tetraeder, Würfel , Oktaeder, Dodekaeder und sonstwas verwenden. Auch dürften diese auch schräg sein, d.h. es müssen keine Laplace-Versuche sein. Dann ist $\begin{eqnarray} X=X_1+X_2+ \ldots + X_n \end{eqnarray}$ annähernd normalverteilt für grosse n. Allerdings könnte man $\begin{eqnarray} X_i \end{eqnarray}$ "mutwillig" so konstruieren, dass der Satz nicht gilt.
27.08.2013, 18:33	Kasen75	Auf diesen Beitrag antworten »
@Dopap Die unregelmäßigen Tetraeder z.B. müssen aber schon gleicher Bauart sein, oder ?
27.08.2013, 19:08	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
auch das nicht. Auch können die aufgedruckten Werte jeweils verschieden sein ! Wichtig ist nur, dass du "ausreichend viele" Spielgeräte hast. Die Anforderungen an den Satz sind tatsächlich ziemlich schwach. Wenn $\begin{eqnarray} E(X_i)=\mu_i \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} V(X_i)= \sigma_i^2 \end{eqnarray}$ gilt, dann ist $\begin{eqnarray} E(X)=\mu= \mu_1+\mu_2 + \ldots + \mu_n \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} V(X)= \sigma^2 =\sigma_1^2+\sigma_2^2 + \ldots + \sigma_n^2 \end{eqnarray}$ und damit $\begin{eqnarray} p(X\leq x)=\Phi(\frac {x-\mu}{\sigma}) \end{eqnarray}$
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