Das Volumen einer Menge berechnen, Integrationsgrenzen

27.08.2013, 13:52

Davi90

Das Volumen einer Menge berechnen, Integrationsgrenzen

Meine Frage:
Hallo zusammen,

ich bereite mich gerade auf eine Analysis 2 Klausur vor und habe ein Problem beim Berechnen vom Volumen von Mengen:

Gegeben ist die Menge
$\begin{eqnarray*} D= \left\{(x,y,z)^{T}\in R^{2}| x+2y\leq 4; x+y+z\leq 6; x\geq 0; y\geq 0; z\geq 0\right\} \end{eqnarray*}$
von der das Volumen berechnet werden soll.

Meine Ideen:
Ich weiß, dass das Integral so aussehen muss:
$\begin{eqnarray*} \int_D \! 1 \, dx dy dz \end{eqnarray*}$

Als Integrationsgrenzen habe ich
$\begin{eqnarray*} 0\leq y\leq 2-\frac{1}{2} x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0\leq z\leq 6-x-y \end{eqnarray*}$
gewählt.
Aber wie erhalte ich die obere Grenze für x? Wenn in der Menge keine Ungleichung mehr über ist, wähle ich diese dann einfach als 1? Falls ja, warum?

Hoffe ihr könnt mir helfen, viele Grüße!

27.08.2013, 14:45

Huggy

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Das Volumen einer Menge berechnen, Integrationsgrenzen
Zunächst mal: Wenn du diese Grenzen wählst

Zitat:

Original von Davi90
Als Integrationsgrenzen habe ich
$\begin{eqnarray*} 0\leq y\leq 2-\frac{1}{2} x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0\leq z\leq 6-x-y \end{eqnarray*}$
gewählt.

dann willst du erst über z, dann über y und zum Schluss über x integrieren. Dann solltest du aber schreiben

$\begin{eqnarray*} \int_D \! 1 \, dz dy dx \end{eqnarray*}$

weil die Integrationsreihenfolge immer von innen nach außen geht. Als obere Grenze für x ist das maximale x zu wählen, das mit allen Ungleichungen verträglich ist. Aus $\begin{eqnarray*} x+y+z \leq 6 \end{eqnarray*}$ folgt wegen $\begin{eqnarray*} y , z \geq 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x \leq 6 \end{eqnarray*}$

und aus $\begin{eqnarray*} x+2y \leq 4 \end{eqnarray*}$ folgt

$\begin{eqnarray*} x \leq 4 \end{eqnarray*}$

Die Obergrenze für x ist daher 4.

27.08.2013, 15:53

Davi90

Auf diesen Beitrag antworten »

Ah ok, dann habe ich jetzt verstanden wie es funktionert. Vielen Dank, Huggy!

Neue Frage »

Antworten »

Das Volumen einer Menge berechnen, Integrationsgrenzen

Verwandte Themen