Aus 4 Punkten eine Ebene machen |
| 27.08.2013, 18:03 | Crazyturtle 12345 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Aus 4 Punkten eine Ebene machen Ich habe eine Rechteckfläche, die durch die Punkte D1, S2, S3 und D2 bestimmt werden. Diese Punkte haben folgende Kooridnaten D1 (5|1,5|7) D2 (0,5|16,5|7) S2 (10|3|3) S3 (5,5|18|3) Ich soll nun die Koordinatengleichung der Ebene herausfinden. Mir ist das Ergebnis bereits vorgegeben: E: 80x1 + 24x2 + 109x3 = 1199 Meine Aufgabe ist es jetzt den Rechenweg dahin zu finden. Meine Ideen: Meine Idee war 3 der 4 Punkte als Parameter für die Drei-Punkte-Gleichung zu benutzten. E = p + r (q - p) + s (r - p) Egal wie ich es einsetzte und das Gleichungssystem dann auflöse, es kommen immer wiedersprüchliche Ergebnise raus. Auch durch eine andere Wahl der 3 Punkte kam es zu immer sonderbareren Ergebnissen. Meine Vermutung ist, dass hier diese Gleichung nicht anwendbar ist, weil die Punkte kollinear sind. Sind aber nicht immer mind. 2 Punkte kollinear wenn man 4 Ecken eines Rechtecks gegeben hat?? Wie muss ich dann rechnen? Kann jemand Lichts in Dunkle bringen? Lieber user, du hast dich hier im Board mit verschiedenen Accounts angemeldet. Wir bitten dich um eine Rückmeldung (an die Organisatoren), warum du mehrere Accounts angelegt hast, um Fehlleitungen in unseren Eingabemasken/Boardstruktur überarbeiten zu können. Vielen Dank, dein MatheBoard-Team |
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| 27.08.2013, 18:26 | klauss | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Aus 4 Punkte eine Ebene machen
Mit dieser Idee solltest Du anfangen. Nur wenn hier tatsächlich zweimal r benutzt werden sollte - einmal als Parameter, einmal als Vektor - wäre der Ansatz schon falsch. Nehme an, das war ein Schreibfehler. Jedenfalls stimmt die vorgegebene Lösung. Nur da man es hier z. T. mit relativ großen Zahlen und Dezimalbrüchen zu tun bekommt, muß man am Schluß die gefundene Gleichung auf ganzzahlige Werte anpassen. Also erstmal die Parameterform aufstellen. |
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| 27.08.2013, 19:23 | chuckydresden | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Aus 4 Punkte eine Ebene machen
Ja, es war ein Schreibfehler.
Also mit den Punkten D1, S2 und S3 (in der Reinfolge): Dann: (1) 5 + 5r + 0,5s (2) 1,5 + 1,5r + 16,5s (3) 7 - 4r - 4s => (1) 5r + 0,5 s = -5 (2) 1,5 r + 16,5s = -1,5 (3) -4r - 4s = -7 Wenn ich (1) und (2) in meinen Taschenrechner eingebe erhalte ich r = -1 und s = 0 Wenn ich (1) und (3) in meinen Taschenrechner eingebe erhalte ich r = -47/36 und s = 55/18 Wenn ich (2) und (3) in meinen Taschenrechner eingebe erhalte ich r = 81/40 und s = -11/40 Bemerkung: Durch Überbestimmung des Gleichungsystems kann ich ja immer nur 2 Gleichungen einsetzten |
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| 27.08.2013, 19:31 | klauss | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Aus 4 Punkte eine Ebene machen Die Parameterform ist korrekt. Bevor wir weiterrechnen: Steht Dir die Möglichkeit zur Verfügung, einen Normalenvektor der Ebene mit Kreuzprodukt zu berechnen? |
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| 27.08.2013, 19:34 | chuckydresden | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Aus 4 Punkte eine Ebene machen Ehm, bestimmt. Eigentlich stehen mir ja alle Möglichkeiten offen. Ich hatte nur gedacht, dass man die Ebene so bestimmt wie ich es getan habe in der Rechnung oben 
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| 27.08.2013, 19:41 | klauss | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Aus 4 Punkte eine Ebene machen Dann würde ich wie folgt fortfahren: 1. Normalenvektor berechnen 2. Die gesamte Ebenengleichung mit dem Normalenvektor durchmultiplizieren. |
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| 27.08.2013, 21:25 | Dopap | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
man kann auch direkt auf die Koordinatenform: losgehen. Man setzt nun 3 Punkte ein und löst das LGS, wobei z.B. k frei wählbar ist. Das erfordert keinerlei weitere Hilfsmittel und ist TR-tauglich. |
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| 27.08.2013, 22:36 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Durch die Multiplikation der von klauss angegebenen Parametergleichung mit dem Normalvektor entsteht ebenfalls sofort die Koordinatengleichung der Ebene (die skalaren Produkte mit den Richtungsvektoren ergeben Null). mY+ |
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| 27.08.2013, 23:14 | Dopap | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
das ist vollkommen richtig, nur braucht man eben einen Normalenvektor dazu... |
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| 28.08.2013, 10:07 | chuckydresden | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Bevor ich die Rechnung wie von klauss vorgeschlagen machen, kann mir jemand sagen warum meine Rechnung oben nicht das richtige Ergebnis liefert? Wo liegt da der Fehler? Warum funktioniert meine Vorgehensweise nicht? |
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| 28.08.2013, 11:06 | chuckydresden | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wenn ich hier: D1 (5|1,5|7) D2 (0,5|16,5|7) S2 (10|3|3) einsetzte, erhalte ich genau das Ergebnis. Als k habe ich 1 gewählt und dann am Ende die Variablen noch auch ganzzahlige Zahlen gebracht. Danke 
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| 28.08.2013, 14:44 | klauss | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Einen Mittelweg zum Vorschlag von Dopap ohne Skalarprodukt und ohne LGS hätte ich noch: 1. Normalenvektor berechnen (und hier auf ganzzahlige Komponenten bringen) Damit sind a, b und c bereits bekannt. 2. In die Gleichung einen bekannten Punkt einsetzen, z. B. (10/3/3) und k bestimmen. |
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| 29.08.2013, 11:10 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Der Weg ist identisch mit jenem zuvor von dir beschriebenen, der Multiplikation mit dem Normalvektor. Denn der erste Vektor (5; 1.5, 7) ist der Ortsvektor zu einem gegebenen Punkt. Hiermit wird dann ebenso die Konstante k berechnet. mY+ |
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