Differentialgleichung 4. Grades mit konstanten Koeffizienten

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27.08.2013, 19:29	jojoe	Auf diesen Beitrag antworten »
Differentialgleichung 4. Grades mit konstanten Koeffizienten Meine Frage: Hallo liebe Forum-Mitglieder, ich habe eine Frage zu einer inhomogene Differentialgleichung (DGL) 4. Grades mit konstanten Koeffizienten. Ersteinmal die DGL: y''''+2y'''-3y''=20xe^(2x) Meine Frage beschäftigt sich mit der partikulären Lösung der DGL. Die homogene Lösung habe ich bereits gelöst: y_homogen(x) = c_1e^(-3 x) + c_2e^x + c_4x + c_3 Bei der partikulären Lösung stocke ich allerdings. Ich habe zwei verschiedene Störfunktionen g_1(x) und g_2(x): g_1(x)=20x g_2(x)=e^(2x) Der passende Lösungsansatz zu den Störfunktionen lautet: y_1p(x)=Ax+B y_2p(x)=Ce^(2x) Zusammengefasst: y_p(x)=y_1p(x)y_2p(x)=(Ax+B)Ce^(2x)=(ACx+BC)e^(2x) Zur Vereinfachung, definiere ich AC=a und BC=b. Es folgt: y_p(x)=(ax+b)e^(2x) Meine Frage: Für die Störfunktion eines Polynoms für DGL n-ter Ordnung gibt es zwei Lösungsansätze: [Mit Q_n(x): Polynom vom Grade n] Ansatz 1: y_p = Q_n(x) für a_0 ungleich 0 Ansatz 2: y_p = x^k * Q_n(x) für a_0=a_1=...=a_k-1=0 Ist der Lösungsansatz für g_1(x)=20x richtig mit y_1p(x)=Ax+B? Eigentlich müsste das doch der Ansatz 2 mit k=1 sein, da in diesem Fall g_1(x)=20x a_0=0, richtig? Allerdings komme ich mit diesen Ansatz nicht auf das richtige Ergebnis, welches ich durch das Wolfram\|Alfa-Widget erhalten habe. Ich hoffe Ihr könnt mir helfen! :-) Vielen Dank im Voraus und freundliche Grüße, Joe Meine Ideen: Meine Idee: g_1(x)=20x mit dem Ansatz y_1p(x)=Ax+B, allerdings kann ich mir das nicht erklären!
27.08.2013, 19:41	grosserloewe	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Frage: Differentialgleichung 4. Grades mit konstanten Koeffizienten ich habe aus einer Tabelle für den Ansatz der partikulären Lösung gefunden: $\begin{eqnarray} y_{p} = a e^{2x} +b e^{2x}x \end{eqnarray}$ Deine homogene Lösung stimmt. Ich habe als partikuläre Lösung erhalten: $\begin{eqnarray} y_{p} = \frac{-11}{5} e^{2x} +x e^{2x} \end{eqnarray*}$
28.08.2013, 08:03	jojoe	Auf diesen Beitrag antworten »
Frage: Differentialgleichung 4. Grades mit konstanten Koeffizienten Hey, vielen vielen Dank für die schnelle Antwort! Die Lösungen habe ich soweit auch raus! Immerhin ein gutes Zeichen! :-) Könntest du mir bitte die Quelle deines Lösungsansatzes nennen? Vielen Dank schonmal im Voraus! Jojoe PS: Wenn du die beiden Lösungsansätze von mir betrachtest - welchen würdest du wählen?
28.08.2013, 08:30	grosserloewe	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Frage: Differentialgleichung 4. Grades mit konstanten Koeffizienten Bitte unter Berechnung von Y(h) lesen: (doppelte reelle Nullstelle) http://micbaum.y0w.de/uploads/LoesungsansaetzeDGLzweiterOrdnung.pdf Ich denke , das beantwortet alle Deine Fragen.
28.08.2013, 11:01	jojoe	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Frage: Differentialgleichung 4. Grades mit konstanten Koeffizienten Hi, ich bins nochmal! Noch beantwortet das nicht ganz meine Frage: Warum hast du für die partikuläre Lösung auf den Ansatz der homogenen Lösung zurückgegriffen? Aus deinem Blatt bestimme ich die Ansatzfunktionen für DGL 2. Ordnung - die Ansatzfunktion der partikulären Lösung müssen in diesem Fall doch für DGL n-ter Ordnung gewählt werden, oder? (ok, es sind ja fast die gleichen ) Ich versuche es einfach nochmal mein Problem zu erläutern, vielleicht ist es ja nicht ganz deutlich geworden: Ich habe die DGL 4. Ordnung $\begin{eqnarray} y''''+2y'''-3y''=20xe^{2x} \end{eqnarray}$ Die homogene Lösung ist kein Problem - ich stocke immernoch bei der partikulären Lösung: Die Störfunktion ist $\begin{eqnarray} g(x)=20xe^{2x} \end{eqnarray}$ und damit eine Zusammensetzung aus den allgemeinen Formen $\begin{eqnarray} (ax+b) \end{eqnarray}$ für die $\begin{eqnarray} g(x)=20x \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} e^{cx} \end{eqnarray}$ für die $\begin{eqnarray} g(x)=e^{2x} \end{eqnarray}$ . Für den ersten Teil der Störfunktion gilt:* [Qn(x) sei ein Polynom vom Grade n] $\begin{eqnarray} yp=Qn(x) \end{eqnarray}$ wenn $\begin{eqnarray} a0 \neq 0 \end{eqnarray}$ ist oder $\begin{eqnarray} yp=x^k Qn(x) \end{eqnarray}$ wenn $\begin{eqnarray} a_0=a_1=..=a_{k-1}=0 \end{eqnarray}$ ist Bei der DGL $\begin{eqnarray} y''''+2y'''-3y''=20xe^{2x} \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} a_0=0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} a_1=0 \end{eqnarray}$ , da die allgemeine Form $\begin{eqnarray} a_4 y''''+a_3 y'''+a_2 y''+a_1 y'+a_0 y=g(x) \end{eqnarray}$ so aussieht. Ich müsste demnach $\begin{eqnarray} yp_1=x^k Qn(x)=x^k (ax+b) \end{eqnarray}$ verwenden, wobei k=2 ist, da $\begin{eqnarray} a_0=a_1=0 \end{eqnarray}$ ist. Für den zweiten Teil der Störfunktion $\begin{eqnarray} yp=Ae^{cx} \end{eqnarray}$ wenn c keine Lösung der charak. Gleichung ist oder $\begin{eqnarray} yp=Ax^re^{cx} \end{eqnarray}$ wenn c eine r-fache Lösung der charak. Gleichung ist. Ich müsste demnach $\begin{eqnarray} yp_2=Ae^{cx} \end{eqnarray}$ verwenden, wobei c=2 ist. => Folglich habe ich den Lösungsansatz für die Störfunktion: $\begin{eqnarray} yp=yp_1yp_2=x^2 (ax+b)Ae^{2x}=(ax^3+bx^2)Ae^{2x} \end{eqnarray}$ Dieser Lösungsansatz ist allerdings falsch, da ich so nicht auf das richtige Ergebnis komme - was habe ich falsch interpretiert??? Vielen Dank nochmal für die bereits reingesteckte MÜhe - ich habe es aber noch nicht verstanden. Ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen und ich bin ein nicht zu hoffnungsloser Fall! Freundliche Grüße Jojoe
29.08.2013, 18:10	grosserloewe	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Frage: Differentialgleichung 4. Grades mit konstanten Koeffizienten Bei der 1. Störfunktion ist k falsch bestimmt ,ist nicht 2, sondern 0. K gibt an, wie oft der Exponent 2 in $\begin{eqnarray} e^{2x} \end{eqnarray}$ als Nullstelle des charakteristischen Polynoms auftritt. Die ist in diesem Fall 0 Mal. -----------> k=0. Die 2. Störfunktion stimmt. Daraus folgt dann der Ansatz für die partikuläre Lösung: $\begin{eqnarray} y_{p} = (ax+b) A e^{2x} \end{eqnarray}$ Hier kann dann aA und bA als eine Konstante zusammengefasst werden.
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29.08.2013, 20:34	jojoe	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Frage: Differentialgleichung 4. Grades mit konstanten Koeffizienten Hi, vielen, vielen Dank für deine Antwort! Ich verstehe nicht genau wie du das k für die erste Störfunktion bestimme. Du sagst: K gibt an, wie oft der Exponent 2 in $\begin{eqnarray} e^{2x} \end{eqnarray}$ als Nullstelle des charakteristischen Polynoms auftritt. Die ist in diesem Fall 0 Mal. -----------> k=0. Wieso denn der Exponent 2 und warum greifen wir schon auf die zweite Störfunktion zu? Ich dachte: "Ist g(x) eine Summe/ein Produkt in der Tabelle enthaltener Funktionen, so ist als Ansatzfunktion ebenfalls eine Summe/ein Produkt solcher Funktionen anzusetzen." Viele Grüße :-)
29.08.2013, 20:48	grosserloewe	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Frage: Differentialgleichung 4. Grades mit konstanten Koeffizienten Die Lösungen der charakt. Gleichung sind : 0 (2 Mal) 1 und -3 Da diese Zahlen nicht in $\begin{eqnarray} e^{2x} \end{eqnarray}$ vorkommen, (gemeint ist die 2 im Exponent) , ist k =0 , deswegen.
29.08.2013, 22:06	jojoe	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Frage: Differentialgleichung 4. Grades mit konstanten Koeffizienten DAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAANKE!!!!!!!!! Jetzt habe ich's! Du bist echt spitze!! Ich habe allerdings noch eine schnelle Frage : Kann man das für die Zusammensetzung der Störfnktionen verallgemeinern? Weil wenn ich nur die Störfunktion von $\begin{eqnarray} g(x)=20x \end{eqnarray}$ habe, also: $\begin{eqnarray} y''''+2y'''-3y''=20x \end{eqnarray}$ Gilt für die Störfunktion, dass was ich oben bereits gepostet habe: [Qn(x) sei ein Polynom vom Grade n] $\begin{eqnarray} yp=Qn(x) \end{eqnarray}$ wenn $\begin{eqnarray} a0 \neq 0 \end{eqnarray}$ ist oder $\begin{eqnarray} yp=x^k Qn(x) \end{eqnarray}$ wenn $\begin{eqnarray} a_0=a_1=..=a_{k-1}=0 \end{eqnarray}$ ist Bei der DGL $\begin{eqnarray} y''''+2y'''-3y''=20xe^{2x} \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} a_0=0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} a_1=0 \end{eqnarray}$ , da die allgemeine Form $\begin{eqnarray} a_4 y''''+a_3 y'''+a_2 y''+a_1 y'+a_0 y=g(x) \end{eqnarray}$ so aussieht. Ich müsste demnach $\begin{eqnarray} yp_1=x^k Qn(x)=x^k (ax+b) \end{eqnarray}$ verwenden, wobei k=2 ist, da $\begin{eqnarray} a_0=a_1=0 \end{eqnarray}$ ist. Folglich habe ich den Lösungsansatz für die Störfunktion: $\begin{eqnarray} yp=x^2 (ax+b) \end{eqnarray}$ Die Lösung der DGL lautet dann: $\begin{eqnarray} yp=yh+yp=c_1 e^{-3x} + c_2 e^x + c_4 x + c_3-\frac{10}{9}x^3-\frac{20}{9}x^2 \end{eqnarray*}$
29.08.2013, 23:43	grosserloewe	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Frage: Differentialgleichung 4. Grades mit konstanten Koeffizienten Dafür gibt es auch einen Ansatz: $\begin{eqnarray} x^{q} (b_{0} +b_{1} x ..) \end{eqnarray}$ hier ist q = 2 fache doppelte Nullstelle ------> Tabelle $\begin{eqnarray} x^{2} (ax+b) \end{eqnarray}$ PS: Deine Lösung stimmt nicht ganz , prüfe nochmal Dein Term in der Lösung mit C1 und C2., der Rest der Lösung stimmt. Alles Gute , Danke für die gute Zusammenarbeit.
30.08.2013, 08:00	jojoe	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Frage: Differentialgleichung 4. Grades mit konstanten Koeffizienten Hi, Kannst du mir die Tabelle noch in einer besseren Auflösung schicken, bitte - ich habe Schwierigkeiten was zu erkennen. Zu deinem "PS", habe ich leider keinen Fehler gefunden: Die homogene Lösung lautet bei mir: $\begin{eqnarray} yh=c_1 e^{-3x} + c_2 e^x + c_3 + c_4 x \end{eqnarray}$ Aufgrund der Lösungen der charakt. Gleichung: Für $\begin{eqnarray} \lambda =1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} yh_1=c_1 e^x \end{eqnarray}$ Für $\begin{eqnarray} \lambda =-3 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} yh_2=c_2 e^-3x \end{eqnarray}$ Für $\begin{eqnarray} \lambda =0 \end{eqnarray}$ (2mal) $\begin{eqnarray} yh_3=(c_4 x + c_3)e^0 \end{eqnarray}$ Und die partikuläre Lösung lautet: $\begin{eqnarray} yp=x^2 (ax+b)=-\frac{10}{9}x^3-\frac{20}{9}x^2 \end{eqnarray}$ Ich möchte mich auch nochmal für die tolle Zusammenarbeit und die super Unterstützung bedanken!!! VIELEN DANK grosserloewe!!! Viele Grüße
30.08.2013, 08:43	grosserloewe	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Frage: Differentialgleichung 4. Grades mit konstanten Koeffizienten Hier ein anderer , aber gleichwertiger Link: Ich meine Punkt 2 Berechnung von Y(p) http://micbaum.y0w.de/uploads/LoesungsansaetzeDGLzweiterOrdnung.pdf PS: Du hast Recht, Dein Ergebnis stimmt. Es war gestern schon spät. Mein Ergebnis war auch richtig. ich hatte bei meiner Lösung nur etwas ausgeklammert , so das es so aussah, als wenn mein Ergebnis ein anderes war, was aber nicht stimmt.

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