Funktionenfolge pkt./glm. Konvergenz

27.08.2013, 20:24

Mathelover

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Funktionenfolge pkt./glm. Konvergenz

Also Freunde, versuchen wir noch einmal unser Glück Big Laugh

Big Laugh

Betrachten Sie die Funktionenfolge

$\begin{eqnarray*} f_n: (0,\infty) \to \mathbb{R}<br /> \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f_n(x)=\frac{1}{ln(x+\sqrt{nx^2+1})}, n \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$

a) Bestimmen Sie den punktweisen Grenzwert von $\begin{eqnarray*} (f_n)_{n\in\mathbb{N}} \end{eqnarray*}$
b) Konvergiert $\begin{eqnarray*} (f_n)_{n\in\mathbb{N}} \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} (0,\infty) \end{eqnarray*}$ gleichmäßig?
c) Konvergiert $\begin{eqnarray*} (f_n)_{n\in\mathbb{N}} \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} (1,\infty) \end{eqnarray*}$ gleichmäßig?

Meine Lösung zu a):
$\begin{eqnarray*} <br /> \lim_{n\to\infty}f_n(x)=\frac{1}{ln(x+\sqrt{nx^2+1})} = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (f_n) \end{eqnarray*}$ konvergiert punktweise gegen 0.

Musterlösung zu a):
Da die Wurzel und der Logarithmus monoton wachsende Funktionen sind, gilt für jedes feste $\begin{eqnarray*} x \in(0,\infty) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}f_n(x)=0 \end{eqnarray*}$
Damit konvergiert $\begin{eqnarray*} (f_n) \end{eqnarray*}$ punktweise gegen die Nullfunktion.

Meine Frage:
Muss ich das mit der Wurzel und dem Logarithmus erwähnen? Wenn ja warum?

27.08.2013, 21:20

Guppi12

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Ob du das mit dem Logarithmus und der Wurzel erwähnen musst, können wir dir nicht sagen. Das hängt davon ab, was dein Übungsleiter sehen will (und das wiederum hängt davon ab, wie weit du schon im Studium bist). Wenn es aber in der Musterlösung steht, kannst du davon ausgehen, dass du das noch erwähnen solltest. Es ist schließlich die Begründung, wie dieser Grenzwert zu Stande kommt.

Wenn du es dann erwähnen musst, ist die Begründung für das Warum ganz einfach:

Wäre der Logarithmus oder die Wurzel nicht monoton wachsend, haut das Argument so nicht hin, weil du dann (im Falle der Wurzel) aus $\begin{eqnarray*} nx^2+1 \to\infty \end{eqnarray*}$ noch lange nicht $\begin{eqnarray*} \sqrt{nx^2+1} \to\infty \end{eqnarray*}$ folgern könntest. (Streng genommen braucht man sogar noch mehr, nämlich, dass sogar $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{x\to\infty}\sqrt{x} = \infty \end{eqnarray*}$ gilt, das folgt nicht allein aus der strengen Monotonie)

27.08.2013, 21:37

Mathelover

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Danke Gruppi, verstanden smile

smile

zu b) also zu der glm Konvergenz, fällt mir jetzt die Definition mit dem supremum und der Differenz von $\begin{eqnarray*} f_n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ein.
Ich könnte jetzt ja wieder nach Schema F gehen, $\begin{eqnarray*} f_n \end{eqnarray*}$ ableiten, 0 setzen und somit mein $\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ erhalten, um dann mein supremum von $\begin{eqnarray*} f_n \end{eqnarray*}$ zu bekommen.

Meine Frage:
Kann ich das auch geschickter lösen, statt abzuleiten, null setzen etc.? Wenn ja wie?
Abschätzen fällt mir zunächst ein. Etwa so:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{ln(x+\sqrt{nx^2+1})}<\frac{1}{ln(x+\sqrt{x^2})}=\frac{1}{ln(2x))} \end{eqnarray*}$

Darf das $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ überhaupt verschwinden? Ich denke eher nicht, oder?

27.08.2013, 21:52

Guppi12

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Zitat:

Kann ich das auch geschickter lösen, statt abzuleiten, null setzen etc.? Wenn ja wie?

Ja, dazu würde ich auch dringenst raten bei dieser Funktion, das wird sonst sehr hässlich Big Laugh

Big Laugh

~~Deine Abschätzung ist richtig~~, bringt dir aber nicht so viel, denn der neue Ausdruck, der entsteht, lässt sich so nicht mehr auf $\begin{eqnarray*} (0,\infty) \end{eqnarray*}$ definieren und selbst auf dem maximalen Definitionsbereich ist das Supremum unendlich Augenzwinkern

Augenzwinkern

Mal ein kleiner Tipp für den ersten Teil: Siehe dir mal die Folge $\begin{eqnarray*} f_n(\frac{1}{\sqrt{n}}) \end{eqnarray*}$ an.

Edit: Moment, die Abschätzung stimmt so doch nicht. Ich erkläre gleich wieso, muss kurz weg.

27.08.2013, 22:02

Mathelover

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Zitat:

Original von Guppi12

Mal ein kleiner Tipp für den ersten Teil: Siehe dir mal die Folge $\begin{eqnarray*} f_n(\frac{1}{\sqrt{n}}) \end{eqnarray*}$ an.

Ich erhalte dann für $\begin{eqnarray*} f_n(\frac{1}{\sqrt{n}}) \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} =\frac{1}{ln(\frac{1}{\sqrt{n}}+\sqrt{2})} \end{eqnarray*}$

27.08.2013, 22:12

Guppi12

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Zunächst mal nochmal zur Abschätzung:

Du hast

$\begin{eqnarray*} \ln(x+\sqrt{nx^2+1}) > \ln(2x) \end{eqnarray*}$ . Das ist noch richtig. Daraus folgt nun aber bei Kehrwertbildung nur dann

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{ln(x+\sqrt{nx^2+1})}< \frac{1}{ln(2x))} \end{eqnarray*}$ , wenn beide Seiten der Ungleichung das gleiche Vorzeichen haben, was hier nicht gegeben ist, da $\begin{eqnarray*} \ln(2x) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x<\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ negativ ist.

Hast du keine Idee, was man mit $\begin{eqnarray*} \frac{1}{ln(\frac{1}{\sqrt{n}}+\sqrt{2})} \end{eqnarray*}$ machen kann? Zum Beispiel irgendwie durch eine Abschätzung in Zusammenhang mit dem Supremum von $\begin{eqnarray*} f_n \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} (0,\infty) \end{eqnarray*}$ bringen?

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27.08.2013, 22:21

Mathelover

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Zitat:

Original von Guppi12

Hast du keine Idee, was man mit $\begin{eqnarray*} \frac{1}{ln(\frac{1}{\sqrt{n}}+\sqrt{2})} \end{eqnarray*}$ machen kann? Zum Beispiel irgendwie durch eine Abschätzung in Zusammenhang mit dem Supremum von $\begin{eqnarray*} f_n \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} (0,\infty) \end{eqnarray*}$ bringen?

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{ln(\frac{1}{\sqrt{n}}+\sqrt{2})} < \frac{1}{ln(\frac{1}{\sqrt{n}})} \end{eqnarray*}$
Dann folgt mit $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}\frac{1}{ln(\frac{1}{\sqrt{n}})} = 0 \end{eqnarray*}$

So etwa?

27.08.2013, 22:31

Guppi12

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Nein, so funktioniert das nicht.

Das ist genau der gleiche Fehler, wie der, den ich oben beschrieb.

Das hier gilt nicht:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{ln(\frac{1}{\sqrt{n}}+\sqrt{2})} < \frac{1}{ln(\frac{1}{\sqrt{n}})} \end{eqnarray*}$

Siehe dazu meine Begründung oben.

Selbst wenn das gelten würde, hättest du damit nicht gewonnen, denn das Supremum von $\begin{eqnarray*} f_n \end{eqnarray*}$ könnte ja größer sein, als $\begin{eqnarray*} f_n(\frac{1}{\sqrt{n}}) \end{eqnarray*}$ , was es hier übrigens in der Tat auch ist.

Ich gebe mal noch einen Tipp: Versuche bei Teil 1 mal eher in Richtung nicht gleichmäßiger Konvergenz zu denken.

27.08.2013, 22:59

Mathelover

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Dann sollte ja aus $\begin{eqnarray*} ln(X) \end{eqnarray*}$ irgendwie $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ rauskommen, damit das ganze divergiert mit $\begin{eqnarray*} 1/ln(X) \end{eqnarray*}$ .

Dann versuch ich das mal so:
$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}\frac{1}{ln(\frac{1}{\sqrt{n}}+\sqrt{2})} <br /> =\frac{1}{ln(\frac{1+\sqrt{2}*\sqrt{n}}{\sqrt{n}})} <br /> <\frac{1}{ln(\frac{\sqrt{2}*\sqrt{n}}{\sqrt{n}})}<\frac{1}{ln(\sqrt{2})} \end{eqnarray*}$

Jetzt ist aber das $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ verschwunden Big Laugh

Big Laugh

verdammt...oh man...

27.08.2013, 23:06

Guppi12

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Ebenso wie der Limes, der ab dem ersten Gleichheitszeichen im Nirvana verschwunden ist.

Es gilt aber tatsächlich $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}\frac{1}{ln(\frac{1}{\sqrt{n}}+\sqrt{2})}= \frac{1}{ln(\sqrt{2})} \end{eqnarray*}$ .

Was bringt uns das bisher?

Ich fragte dich, ob du eine Verbindung zwischen dem Supremum von $\begin{eqnarray*} |f_n| \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f_n(\frac{1}{\sqrt{n}}) \end{eqnarray*}$ herstellen kannst. Welcher der beiden ist denn größer/gleich dem anderen?

27.08.2013, 23:22

Mathelover

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Das Supremum von $\begin{eqnarray*} f_n \end{eqnarray*}$ kennen wir nicht.

Deshalb denke ich, dass folgendes gilt:

sup von $\begin{eqnarray*} \ |f_n| \geq f(\frac{1}{\sqrt{n}}) \end{eqnarray*}$

EDIT: Wir wollen ja erreichen, dass im Nenner eine 0 steht.
Das wäre ja für $\begin{eqnarray*} ln(1) \end{eqnarray*}$ der Fall. Jetzt müssten wir ja unser $\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ passend wählen, dann würde $\begin{eqnarray*} f_n(x_n) \end{eqnarray*}$ divergieren mit 1/0

27.08.2013, 23:31

Guppi12

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Naja, es ist egal, ob wir es kennen oder nicht. Das Supremum kann aber garnicht kleiner sein, als einer der angenommen Funktionswerte, weil es ja eine obere Schranke an diese ist.

Es gilt also $\begin{eqnarray*} \sup\limits_{x\in(0,\infty)}|f_n(x)-f(x)| = \sup\limits_{x\in(0,\infty)}|f_n(x)| \geq f_n(\frac{1}{\sqrt{n}}) = \frac{1}{\ln(\frac{1}{\sqrt{n}}+\sqrt{2})} \end{eqnarray*}$ .

Was passiert, wenn wir jetzt auf beiden Seiten den Limes bilden?

Zu deinem Edit:
Der Definitionsbereich für die $\begin{eqnarray*} f_n \end{eqnarray*}$ ist gerade so gewählt, dass das Argument des Logarithmus ungleich 1 bleibt. Wir haben aber im Prinzip genau so eine Strategie verfolgt hier, denn wir haben uns eine Folge gesucht, in der das Argument des Logarithmus gegen 1 konvergiert. Deine Idee geht also in die richtige Richtung. Tatsächlich ist es sogar so, dass, wenn man eine Folge wählen würde, die schneller gegen 0 konvergiert, als $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{n}} \end{eqnarray*}$ , dann diese Folge divergieren würde. Unsere Folge reicht aber aus.

Edit: Ich sehe, dass du inzwischen nochmal editiert hast, diesmal mit genau der richtigen Idee, bravo!
Wäre dir das vorher aufgefallen, hätte ich dir den Tipp mit der Folge $\begin{eqnarray*} f_n(\frac{1}{\sqrt{n}}) \end{eqnarray*}$ nicht geben müssen Freude

Freude

27.08.2013, 23:51

Mathelover

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Wenn ich den limes bilde, dann erhalte ich ja $\begin{eqnarray*} f_n(0)=\frac{1}{ln(1)}=\infty \end{eqnarray*}$

das mit den auf beiden Seiten den limes bilden hab ich nicht verstanden.
Aufjeden Fall folgt dann aber, wenn $\begin{eqnarray*} f_n(\frac{1}{\sqrt{n}}) \end{eqnarray*}$ schon divergiert und der sup von $\begin{eqnarray*} f_n \geq f_n(\frac{1}{\sqrt(n)} \end{eqnarray*}$ , so muss der sup von $\begin{eqnarray*} f_n \end{eqnarray*}$ auch divergieren.
Somit ist dann sup von $\begin{eqnarray*} f_n \end{eqnarray*}$ keine Nullfunktion und somit nicht gleichmäßig stetig.

Zitat:

Original von Guppi12

Edit: Ich sehe, dass du inzwischen nochmal editiert hast, diesmal mit genau der richtigen Idee, bravo!
Wäre dir das vorher aufgefallen, hätte ich dir den Tipp mit der Folge $\begin{eqnarray*} f_n(\frac{1}{\sqrt{n}}) \end{eqnarray*}$ nicht geben müssen Freude

Freude

Fragen:
Wie hätte ich denn ganz am Anfang sehen sollen bzw. in die Richtung der nicht-Konvergenz denken sollen?
Mit dem Wissen der nicht-Konvergenz kann man dann Schritt für Schritt Rückschlüsse ziehen, okay aber das weiß man ja zunächst nicht.

Warum haben wir nicht die für $\begin{eqnarray*} x_n = \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ gewählt?

28.08.2013, 00:01

Guppi12

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Die Folge $\begin{eqnarray*} f_n(\frac{1}{\sqrt{n}}) \end{eqnarray*}$ divergiert nicht, sie konvergiert gegen $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\ln(\sqrt{2})} \end{eqnarray*}$ . Da das aber größer als $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ ist, kann auch $\begin{eqnarray*} \sup\limits_{x\in(0,\infty)}|f_n(x)-f(x)| \end{eqnarray*}$ nicht gegen $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ konvergieren, da dieses ja durchgängig größer ist, als die betrachtete Folge, damit liegst du also richtig.

Zitat:

Wie hätte ich denn ganz am Anfang sehen sollen bzw. in die Richtung der nicht-Konvergenz denken sollen?

Naja, ist halt auch Erfahrung. Man schaut sich aber gerne mal die Stellen im Abschluss des Definitionsbereichs an, wo, wenn man sich eine Folge im Definitionsbereich baut, die gegen diese konvergiert, die Folge der Funktionswerte dann bei festgehaltenem $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ divergiert. Eventuell passiert das dann auch noch, wenn man $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ nicht mehr festhält. Das sind halt so Sachen, die man als erstes ausprobiert.

Zitat:

Warum haben wir nicht die für $\begin{eqnarray*} x_n = \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ gewählt?

Weil die Folge der Funktionswerte hier tatsächlich divergiert. Ich hatte die Hoffnung, dass du besser erkennst, das das nicht funktionieren kann, wenn du den Limes der Folge der Funktionswerte konkret ausrechnen kannst und siehst, dass dieser größer als Null ist.

28.08.2013, 00:12

Mathelover

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Zitat:

Original von Guppi12
Die Folge $\begin{eqnarray*} f_n(\frac{1}{\sqrt{n}}) \end{eqnarray*}$ divergiert nicht, sie konvergiert gegen $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\ln(\sqrt{2})} \end{eqnarray*}$ . Da das aber größer als $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ ist, kann auch $\begin{eqnarray*} \sup\limits_{x\in(0,\infty)}|f_n(x)-f(x)| \end{eqnarray*}$ nicht gegen $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ konvergieren, da dieses ja durchgängig größer ist, als die betrachtete Folge, damit liegst du also richtig.

Danke, dass du das nochmal erwähnt hast. Freude

Freude

28.08.2013, 00:15

Guppi12

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Wie siehts mit Teil 2 aus? Ideen? smile

smile

28.08.2013, 00:15

Mathelover

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Bin grad dabei mom Big Laugh

Big Laugh

28.08.2013, 00:39

Mathelover

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Also wenn ich mir den Definitionsbereich: $\begin{eqnarray*} [1,\infty) \end{eqnarray*}$ anschaue, macht es keinen Sinn, sich eine Folge im Definitionsbereich zu bauen, die gegen die Abschlüsse konvergiert.

Meine Idee wäre folgende:

Wir wissen ja dass x mindestens den Wert 1 annehmen kann. Dann kann ich ja folgendermaßen abschätzen:

$\begin{eqnarray*} f_n(x) = |\frac{1}{ln(x+\sqrt{nx^2+1})}| \leq |\frac{1}{ln(\sqrt{n+1})}| \end{eqnarray*}$

Für $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty} |\frac{1}{ln(\sqrt{n+1})}| = 0 \end{eqnarray*}$

irgendwie fehlt da noch was oder?

28.08.2013, 00:46

Guppi12

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Sehr schön Freude

Freude

Diese Abschätzung ist genau, was man hier braucht.

Es fehlt eine Klitzekleinigkeit, ich habe das mal ergänzt:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \sup\limits_{x\in [1,\infty)}|f_n(x)-f(x)| = \sup\limits_{x\in [1,\infty)}|\frac{1}{ln(x+\sqrt{nx^2+1})}| \leq |\frac{1}{ln(\sqrt{n+1})}| \end{eqnarray*}$ .

Dein Schlusssatz reicht so noch nicht, du hast nur $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty} |\frac{1}{ln(\sqrt{n+1})}| = 0 \end{eqnarray*}$ aufgeschrieben. Es fehlt noch, was das für Konsequenzen für $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}\sup\limits_{x\in [1,\infty)}|f_n(x)-f(x)| \end{eqnarray*}$ hat.

28.08.2013, 00:53

Mathelover

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cool, endlich mal sinnvoll abgeschätzt Big Laugh

Big Laugh

Fehlt hier vielleicht sowas wie:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}\sup\limits_{x\in [1,\infty)}|f_n(x)-f(x)| =\lim_{n\to\infty}\sup\limits_{x\in [1,\infty)}|f_n(x)|\leq |\frac{1}{ln(\sqrt{n+1})}| \to 0 \end{eqnarray*}$

?

28.08.2013, 00:58

Guppi12

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Hmm, das ist jetzt Meckern auf hohem Niveau. Du kannst das schon so schreiben. Schöner wäre aber, wenn du bei einer Variante bleibst, den Grenzübergang aufzuschreiben und nicht 2 verschiedene benutzt. Also eine der Varianten:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}\sup\limits_{x\in [1,\infty)}|f_n(x)-f(x)| =\lim_{n\to\infty}\sup\limits_{x\in [1,\infty)}|f_n(x)|\leq \lim\limits_{n\to\infty}|\frac{1}{ln(\sqrt{n+1})}| = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sup\limits_{x\in [1,\infty)}|f_n(x)-f(x)| = \sup\limits_{x\in [1,\infty)}|f_n(x)|\leq \lim\limits_{n\to\infty}|\frac{1}{ln(\sqrt{n+1})}| \rightarrow 0 ~~(n\to\infty) \end{eqnarray*}$

28.08.2013, 01:07

Mathelover

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Ahhhhh okay verstanden smile

smile

Danke Gruppi smile

smile

Ich hätte da aber noch ein paar Fragen Big Laugh

Big Laugh

Ist es wirklich so, dass bei nicht offenen Intervallen das Abschätzen ziemlich einfach ist?
Wir hatten es ja diesmal mit einem halboffenen Intervall zu tun, und haben ohne Probleme, ohne vorher ein $\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ zu bestimmen einfach abgeschätzt, indem wir beim abschätzen das $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ eliminiert haben.

Kann ich dann in Zukunft folgendes merken:

Intervall = offen : ein $\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ suchen, sinnvoll abschätzen, sup-Def. anwenden.
Interval $\begin{eqnarray*} \neq \end{eqnarray*}$ offen: direkt abschätzen, x eliminieren, sup-Def. anwenden.

28.08.2013, 01:14

Guppi12

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Zitat:

Kann ich dann in Zukunft folgendes merken:
Intervall = offen : ein $\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ suchen, sinnvoll abschätzen, sup-Def. anwenden.
Interval $\begin{eqnarray*} \neq \end{eqnarray*}$ offen: direkt abschätzen, x eliminieren, sup-Def. anwenden.

Hmm nein, das kann man nicht pauschalisieren.

Aber ich sagte ja nun schön öfers: für sowas braucht man Erfahrung.
Und: Glückwunsch, soeben hat sich deine Erfahrung erhöht smile

smile

Du hast jetzt für diese beiden Fälle Methoden gefunden, die zum Ziel führen könnten.
Wenn du jetzt mit einer Aufgabe konfrontiert wirst, die sich auf diese Weise lösen lässt, kannst du jetzt auf deine Erfahrung zurückgreifen und findest die Lösung schneller als vorher.

Augenzwinkern

Augenzwinkern

28.08.2013, 01:19

Mathelover

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Ja da hast du wirklich recht.

Ich meld mich aber morgen bestimmt wieder, keine Sorge Big Laugh

Big Laugh

Und super vielen Dank nochmal Freude

Freude

Freude

Freude

Freude

Freude

Freude

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