Basis von einem Teilraum

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küb Auf diesen Beitrag antworten »
Basis von einem Teilraum
Meine Frage:
Hallo Leute,
bräuchte wieder einmal eure Hilfe..

Ich muss die Basis und Dimension von folgendem Teilraum bestimmen:

{ }

Eine Basis ist ja ein linear unabhängiges Erzeugendensystem..
Bis jetzt hatten wir immer paar Vektoren gegeben und da wusste ich auch, wie ich die lineare Unabhängigkeit und das Erzeugendensystem untersuche.. Aber mit Teilräumen hatten wir das noch nicht..
Wie kann ich denn einen Teilraum auf lineare Unabhängigkeit untersuchen?

Meine Ideen:
chris95 Auf diesen Beitrag antworten »

Hi küb,


Vll. hilft es dir weiter wenn ich T bisschen umschreibe:




Siehst du jetzt den Basisvektor?

Wie gross ist die Dimension?
küb Auf diesen Beitrag antworten »

Wie bist du auf diese Umschreibung gekommen?
küb Auf diesen Beitrag antworten »

Achso die Umschreibung ist klar..

Wenn ich für x=2t und für y=t einsetze, dann ist x-2*y=0 erfüllt..

Jetzt sehe ich aber trotzdem nicht, wie ich den Basisvektor erkennen soll..
chris95 Auf diesen Beitrag antworten »

Wie ist denn die Dimension?

Wie ist eine Basis definiert?
küb Auf diesen Beitrag antworten »

Die Dimension ist zwei, weil C^2.

Definition der Basis: Sei V ein Vektorraum über K
heißen Basis von V, falls sie ein linear unabhängiges Erzeugendensystem von V sind.
 
 
chris95 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich weiss nicht wie ich es dir erklaeren kann, aber die Dimension des Teilraums ist 1. Eine Basis dieses Teilraums besteht aus einem Vektor.

Der Vektor bildet eine Basis dieses Teilraums, weil jeder Vektor als Linearkombination dieses Vektors darstellbar ist.
küb Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, kurze Nachfrage, ob ich alles richtig verstanden habe:

Du kommst auf x=2t und y=t einfach durch Erkennen, dass dann

2t-2t=0

Stimmt das soweit?

Und dann betrachte ich die Koeffizienten 2 und 1 und das ist dann meine Basis.
Und da meine Basis nur aus einem Vektor besteht, ist die Dimension 1?
chris95 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von küb
Okay, kurze Nachfrage, ob ich alles richtig verstanden habe:

Du kommst auf x=2t und y=t einfach durch Erkennen, dass dann

2t-2t=0

Sozusagen, bzw. da ja gegeben ist, dass x-2y=0 sein muss.

Zitat:
Und dann betrachte ich die Koeffizienten 2 und 1 und das ist dann meine Basis.

Nein, ich betrachte nur den Koeffizienten 1. Der Punkt ist der, dass ich jeden Vektor eben durch Linearkombination (hier durch Multiplikation mit einem Skalar, da Dimension 1 ist) darstellen kann.

Zitat:
Und da meine Basis nur aus einem Vektor besteht, ist die Dimension 1?

Ja.
küb Auf diesen Beitrag antworten »

Wie kommst du denn auf ?

Ich muss ja irgendwie zeigen, wie man darauf kommt.. smile
chris95 Auf diesen Beitrag antworten »

t=1 z.B.

Ich sehe halt das.

Und dann zeige ich, dass ich jeden Vektor als Linearkombination von (2 1) darstellen kann.
küb Auf diesen Beitrag antworten »

Was heißt denn "jeder Vektor".. Ich meine, wie siehst du, dass da oben eine 2 stehen muss? Was sind denn die anderen Vektoren, sodass du sehen kannst, dass (2 1) eine Linearkombination ist..
chris95 Auf diesen Beitrag antworten »

Gib mir einen Vektor aus dem Teilraum.

Dann muss ich immer eine Linearkombination von Vektoren aus der Basis finden um diesen darstellen zu koenne. Das liegt daran, dass eine Basis ein Erzeugendensystem ist.

Lerne bitte zuerst noch die relevanten Definitionen und Saetze bevor du fragst. Ich habe das Gefuehl, dass du gar nicht so richtig weisst, was du da machst.
küb Auf diesen Beitrag antworten »

Also in den Aufgaben davor hatten wir immer 2 oder 3 Vektoren gegeben und da konnte ich die Basis bestimmen und das mit dem Erzeugendensystem hat auch geklappt..

Aber solch ein Format einer Aufgabe, dass ich nur einen Teilraum gegeben habe, hatte ich noch nicht.. Darum bin ich mir nicht so sicher..

Ist das z.B. ein korrekter Vektor:

?
Ich habe jetzt einfach geschaut, was x-2y=0 erfüllt..
chris95 Auf diesen Beitrag antworten »

Was meinst du mit korrekter Vektor?

Dieser Vektor ist Element des Teilraumes.
küb Auf diesen Beitrag antworten »

Ich glaube ich habe es gerade verstanden:

Damit ein Vektor eine Basis ist, muss es erstmal linear unabhängig sein.

Ich suche mir einen Vektor aus dem Teilraum, der x-2y=0 erfüllt.

z.B.
Dann überprüfe ich:



Da ist, ist der Vektor linear unabhängig.

Dann schaue ich, ob es auch ein Erzeugendensystem ist:
Also suche ich mir noch einen Vektor:





Somit gibt es für jedes lambda ein Ergebnis und der Vektor ist ein EZS und somit eine Basis.. So richtig?
chris95 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von küb

Damit ein Vektor eine Basis ist, muss es erstmal linear unabhängig sein.



Nein, eine Basis ist immer eine Menge von Vektoren.

Wie gesagt, guck dir nochmals die Grundbegriffe Vektor, Erzeugendensystem, Basis, lin. abhaengig etc. an.
küb Auf diesen Beitrag antworten »

Hier ist die Basis aber nur ein Vektor..
chris95 Auf diesen Beitrag antworten »

Genau, in diesem Fall enthaelt die Basis nur ein Element.

Ein Vektor kann niemals eine Basis sein. Vielmehr kann die Menge der Basis nur aus einem Vektor bestehen, das waere vll. sauberer.
küb Auf diesen Beitrag antworten »

Ok super, danke Freude Wink
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