Beweis: Schwarz-Christoffel-Mapping

28.08.2013, 17:34	12345678	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis: Schwarz-Christoffel-Mapping Meine Frage: Hallo! Ich verstehe einen Beweis nicht. Der ist auf Englisch, damit ich mit meinen Übersetzungsfehlern nicht Verwirrung stifte, schreibe ich ihn mal auf Englisch rein und schreibe danach was mir unklar ist: Soweit ich das richtig verstanden habe, ist mit prevertex das Urbild einer Ecke gemeint. Theorem: Let P be the interior of a polygon $\begin{eqnarray} \Gamma \end{eqnarray}$ having vertices $\begin{eqnarray} w_1,...,w_n \end{eqnarray}$ und and interior angles $\begin{eqnarray} \alpha_1 \pi, ... , \alpha_n \pi \end{eqnarray}$ in counterclockwise order. Let f be any conformal map from the upper half-plane H to P with $\begin{eqnarray} f(\infty) = w_n \end{eqnarray}$ . Then $\begin{eqnarray} f(z)= A + C \int\limits^z \prod\limits_{k=1}^{n-1}(\zeta-z_k)^{\alpha_k-1}d\zeta \end{eqnarray}$ for some complex constants A and C, where $\begin{eqnarray} w_k=f(z_k) \end{eqnarray}$ für k = 1,...,n-1. Proof: For simplicity, we treat just the case where all prevertices are finite and the product ranges over indices 1 to n. By the Schwarz reflection principle, the mapping function f can be analytically continued to the lower half-plane; the image continues into the reflection of P about one of the sides of $\begin{eqnarray} \Gamma \end{eqnarray}$ . By reflecting again about a side of the new polygon, we can return analytically to the upper half-plane. The same can be done for any even number of reflections of P, each time creating a new branch of f. The image of each branch must be translated and rotated copy of. Now, if A and C are any complex constants, then $\begin{eqnarray} \frac{(A+Cf(z))''}{(A+Cf(z))'}=\frac{f''(z)}{f'(z)} \end{eqnarray}$ . Therefore , the function $\begin{eqnarray} \frac{f''}{f'} \end{eqnarray}$ can be defined by continuation as a single-valued analytic function everywhere in the closure of H, except at the prevertices of $\begin{eqnarray} \Gamma \end{eqnarray}$ (where derivatives may fail to exist). Similarly, considering odd numbers of reflections, we see that $\begin{eqnarray} \frac{f''}{f'} \end{eqnarray}$ is single-valued and analytic in the lower half-plane as well. We argued in the introduction that at a prevertex $\begin{eqnarray} z_k \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} f'(z)=(z-z_k)^{\alpha_k-1}\psi(z) \end{eqnarray}$ for a function $\begin{eqnarray} \psi(z) \end{eqnarray}$ analytic in a neighborhood of $\begin{eqnarray} z_k \end{eqnarray}$ with residue $\begin{eqnarray} \alpha_k -1 \end{eqnarray}$ , and $\begin{eqnarray} \frac{f''}{f'}- \sum\limits_{k=1}^n \frac{\alpha_k -1}{z - z_k} \end{eqnarray}$ is an entire function. Because the prevertices are finite, f is analytic at $\begin{eqnarray} z = \infty \end{eqnarray}$ , and a Laurent expansion there implies that $\begin{eqnarray} \frac{f''}{f'} \rightarrow 0 \end{eqnarray}$ as $\begin{eqnarray} z \rightarrow \infty \end{eqnarray}$ . By Liouvilles theorem, it follows that the expression $\begin{eqnarray} \frac{f''}{f'}- \sum\limits_{k=1}^n \frac{\alpha_k -1}{z - z_k} \end{eqnarray}$ is identically zero. Expressing $\begin{eqnarray} \frac{f''}{f'} \end{eqnarray}$ as $\begin{eqnarray} (log f')' \end{eqnarray}$ and integrating twice results in the formula. So nun verstehe ich eineige Sachen nicht, ich gehe mal der Reihe nach den Beweis durch: 0. Was ist mit the product ranges ovr indices 1 to n gemient? Es gibt nur endlich viele Ecken? 1. Wie kann man denn der Einfachheit halber annehmen, dass alle prevertices are finite, wenn in der Formulierung des Theorems explizit steht $\begin{eqnarray} f(\infty) =w_n \end{eqnarray}$ ? 2.Dass man die Funktion so auf die untere Halbebene fortsetzen kann ok, aber wieso "continues the image into the reflection of P about one of the sides of $\begin{eqnarray} \Gamma \end{eqnarray}$ "? Und was bringt dieses Spiegeln? Man erhält verschiedene "Branches" (heißt das Zweige? Was bedeutet das in diesem Kontext?) von P, die sich nur duch Rotation oder Verschiebung unterscheiden, aber was hat man davon? 3. Sehe ich es richtig, dass mit $\begin{eqnarray} \frac{(A+Cf(z))''}{(A+Cf(z))'}=\frac{f''(z)}{f'(z)} \end{eqnarray}$ gezeigt werden soll, dass die Funktion $\begin{eqnarray} \frac{f''(z)}{f'(z)} \end{eqnarray}$ wohldefiniert und invariant unter Drehung und Rotation von f ist? 4. Wie kann ich einfach sagen f is analytic at $\begin{eqnarray} z = \infty \end{eqnarray}$ ? Ist das im Grenzwert gemeint? 5. Wie kann man hier über die Laurentreihen-entwicklung erhalten, dass $\begin{eqnarray} \frac{f''}{f'} \rightarrow 0 \end{eqnarray}$ für große z? (Der Beweis steht im Buch von Driscoll und Trefethen) Meine Ideen:

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