Auf Richtigkeit überprüfen: Funktionenfolgen

28.08.2013, 18:13

Mathelover

Auf Richtigkeit überprüfen: Funktionenfolgen

Hallo Freunde, habe zum ersten mal geschafft eine Aufgabe selbst zu lösen Big Laugh

Könnte ihr bitte meine Lösung auf Richtigkeit überprüfen:

Aufgabe:

Untersuchen Sie die auf $\begin{eqnarray*} (0,\infty) \end{eqnarray*}$ definierte Funktionenfolge $\begin{eqnarray*} (f_n)_{n\in\mathbb{N}}: \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f_n(x)=n*log\left( \frac{1+nx}{nx}\right) \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} x\in(0,\infty) \end{eqnarray*}$

auf punktweise und gleichmäßige Konvergenz.

Meine Lösung zur punktweisen Konvergenz:

$\begin{eqnarray*} f_n(x)=n*log\left( \frac{1+nx}{nx}\right) =log\left( \frac{1+nx}{nx}\right)^n = log\left( 1+ \frac{1}{nx}\right)^n = log\left( 1+ \frac{\frac{1}{x}}{n}\right)^n\rightarrow log\left( e^{\frac{1}{x}}\right)(n\to\infty)<br /> = \frac{1}{x}<br /> \end{eqnarray*}$

Damit ist meine Grenfunzktion $\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f_n(x) \end{eqnarray*}$ konvergiert somit punktweise gegen $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$

Meine Lösung zur gleichmäßigen Konvergenz:

Ich betrachte mir den Definitionsbereich für $\begin{eqnarray*} x\in (0,\infty) \end{eqnarray*}$
Jetzt baue ich mir eine Folge für den Definitionsbereich. Und zwar so, dass diese Folge für große $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ gegen die Abschlüsse konvergieren und ich gleichzeitig das $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ in meinem $\begin{eqnarray*} f_n \end{eqnarray*}$ eliminieren kann.

Also sei $\begin{eqnarray*} x_n = \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$

Jetzt verwende ich folgende Definition:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty} sup_{x\in(0,\infty)} |f_n(x)-f(x)| = 0 \end{eqnarray*}$

Es gilt $\begin{eqnarray*} f(\frac{1}{n}) = n \end{eqnarray*}$

Was ist aber mein $\begin{eqnarray*} sup_{x\in(0,\infty)} f_n(x) \end{eqnarray*}$ ?

Mögliche Idee:

Es gilt:
$\begin{eqnarray*} sup_{x\in(0,\infty)} |f_n(x)| \geq f_n(\frac{1}{n}) = n*log(2) \end{eqnarray*}$

Daraus folgt:
$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty} sup_{x\in(0,\infty)} |f_n(x)-f(x)|\geq\lim_{n\to\infty} f_n(\frac{1}{n}) -f(\frac{1}{n}) =\lim_{n\to\infty} n*log(2) - n \neq 0 \end{eqnarray*}$

Somit ist die Definition nicht erfüllt und keine Nullfunktion. $\begin{eqnarray*} (f_n) \end{eqnarray*}$ ist nicht gleichmäßig konvergent.

Ich hab extra noch meine Gedanken dazugeschrieben, ich bitte um Kritik, auch bezüglich der Gedanken smile

28.08.2013, 18:23

Che Netzer

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RE: Auf Richtigkeit überprüfen: Funktionenfolgen

Zitat:

Original von MatheloverUnd zwar so, dass diese Folge für große $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ gegen die Abschlüsse konvergieren und ich gleichzeitig das $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ in meinem $\begin{eqnarray*} f_n \end{eqnarray*}$ eliminieren kann.

Abschlüsse? Erstaunt1

Zitat:

Was ist aber mein $\begin{eqnarray*} sup_{x\in(0,\infty)} f_n(x) \end{eqnarray*}$ ?

Das spielt keine Rolle. Dieses Supremum würdest du betrachten, wenn die Grenzfunktion Null und $\begin{eqnarray*} f_n \end{eqnarray*}$ stets nichtnegativ wäre.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty} sup_{x\in(0,\infty)} |f_n(x)-f(x)|\geq\lim_{n\to\infty} f_n(\frac{1}{n}) -f(\frac{1}{n}) =\lim_{n\to\infty} n*log(2) - n \neq 0 \end{eqnarray*}$

Der Grenzwert am Ende ist allerdings $\begin{eqnarray*} -\infty \end{eqnarray*}$ und nützt dir daher nichts Augenzwinkern

Mit einer kleinen Änderung funktioniert es so aber.

28.08.2013, 19:11

Mathelover

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RE: Auf Richtigkeit überprüfen: Funktionenfolgen

Zitat:

Original von Che Netzer

Abschlüsse? Erstaunt1

Ich meine damit die Ränder vom Definitionsbereich, also $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$

Zitat:

Das spielt keine Rolle. Dieses Supremum würdest du betrachten, wenn die Grenzfunktion Null und $\begin{eqnarray*} f_n \end{eqnarray*}$ stets nichtnegativ wäre.

Ich brauchs doch trotzdem, um die Definition anzuwenden, oder nicht?

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty} sup_{x\in(0,\infty)} |f_n(x)-f(x)|\geq\lim_{n\to\infty} f_n(\frac{1}{n}) -f(\frac{1}{n}) =\lim_{n\to\infty} n*log(2) - n \neq 0 \end{eqnarray*}$

Zitat:

Der Grenzwert am Ende ist allerdings $\begin{eqnarray*} -\infty \end{eqnarray*}$ und nützt dir daher nichts Augenzwinkern

Mit einer kleinen Änderung funktioniert es so aber.

aber $\begin{eqnarray*} -\infty \neq 0 \end{eqnarray*}$ und damit ist die Bedingung einer Nullfunktion nicht erfüllt.

Und somit haben wir doch gewonnen, oder?

28.08.2013, 19:48

Che Netzer

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RE: Auf Richtigkeit überprüfen: Funktionenfolgen

Zitat:

Original von Mathelover
Ich brauchs doch trotzdem, um die Definition anzuwenden, oder nicht?

Nein, du brauchst $\begin{eqnarray*} \sup_{x\in(0,\infty)}\lvert f_n(x)-f(x)\rvert \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

aber $\begin{eqnarray*} -\infty \neq 0 \end{eqnarray*}$ und damit ist die Bedingung einer Nullfunktion nicht erfüllt.

Und somit haben wir doch gewonnen, oder?

Nein, das hilft wie gesagt nicht, denn $\begin{eqnarray*} 0\geq-\infty \end{eqnarray*}$ .
Und du hast nur
$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}\sup_{x\in(0,\infty)}\lvert f_n(x)-f(x)\rvert\geq-\infty \end{eqnarray*}$
gezeigt. Und eigentlich nicht einmal das, denn du weißt noch gar nicht, ob der Grenzwert auf der linken Seite überhaupt existiert.

28.08.2013, 19:52

Mathelover

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RE: Auf Richtigkeit überprüfen: Funktionenfolgen

Zitat:

Original von Che Netzer

Nein, das hilft wie gesagt nicht, denn $\begin{eqnarray*} 0\geq-\infty \end{eqnarray*}$ .
Und du hast nur
$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}\sup_{x\in(0,\infty)}\lvert f_n(x)-f(x)\rvert\geq-\infty \end{eqnarray*}$
gezeigt. Und eigentlich nicht einmal das, denn du weißt noch gar nicht, ob der Grenzwert auf der linken Seite überhaupt existiert.

Tatsächlich, ahhh verdammt...

Kannst du mir bitte einen Tipp geben, damit ich auf den richtigen Weg komme?

28.08.2013, 19:57

Che Netzer

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RE: Auf Richtigkeit überprüfen: Funktionenfolgen
Dein einziger Fehler war, dass du bei
$\begin{eqnarray*} \sup_{x\in(0,\infty)}\lvert f_n(x)-f(x)\rvert\geq f_n\left(\frac1n\right)-f\left(\frac1n\right) \end{eqnarray*}$
die Betragsstriche weggelassen hast.

28.08.2013, 20:09

Mathelover

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RE: Auf Richtigkeit überprüfen: Funktionenfolgen
Ahhh stimmt.
Dann gilt ja nämlich:

$\begin{eqnarray*} 0 \geq \infty \end{eqnarray*}$
Und das ist eine falsche Aussage.

Ist das die Begründung?

28.08.2013, 20:18

Che Netzer

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RE: Auf Richtigkeit überprüfen: Funktionenfolgen
Naja, ich würde schreiben, dass
$\begin{eqnarray*} \sup_{x\in(0,\infty)}\lvert f_n(x)-f(x)\rvert \end{eqnarray*}$
gegen Unendlich geht und deshalb nicht gegen Null gehen kann.

28.08.2013, 20:23

Mathelover

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RE: Auf Richtigkeit überprüfen: Funktionenfolgen
Okay, danke Che smile

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