Punkt soll im R^3 auf der Geraden aufliegen

28.08.2013, 20:55

Ding-Dong

Punkt soll im R^3 auf der Geraden aufliegen

Meine Frage:
Die Gerade g geht durch die Punkte A(1/2/3) und B(-1/0/5). Bestimme den Punkt C(6/4/c3) so, dass er auf der Geraden aufliegt.

Meine Ideen:
Hallöchen!
Ich habe das Gefühl, dass es recht simpel ist, aber ich hab's jetzt schon mehrmals nachgerechnet und.. naja, laut meinen Ergebnissen liegt C definitv nicht auf der Geraden. Entweder mir fehlt eine Formel oder sowas oder ich stelle mich gerade richtig dämlich an..
Aber wir haben bis jetzt nur die Parameterform und die Zwei-Punkte-Form der Geraden gelernt, also bleibt mir nicht allzu viel Wahlmöglichkeit.

$\begin{eqnarray*} \vec{x} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} = \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} + \end{eqnarray*}$ r * ( $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} - \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ )

$\begin{eqnarray*} \vec{x} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} = \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} + \end{eqnarray*}$ r * $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -2 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 6 \\ 4 \\ c3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} = \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} + \end{eqnarray*}$ r * $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -2 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Die Komponentengleichungen sind dann:
6 = 1 - 2r
4 = 2 - 2r
c3 = 3 + 2r

Um c3 rauszubekommen, habe ich die Zwei-Punkte-Form benutzt:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 6 \\ 4 \\ c3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} = \end{eqnarray*}$ r * $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} + \end{eqnarray*}$ s * $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

1. 6 = r - s
2. 4 = 2r
3. c3 = 3r + 5s

2.
4 = 2r /: 2
r = 2 in 1.

1.
6 = 1 * 2 - s /+ s
2 = 6 + s /- 6
s = - 4

Probe:
6 = 1 * 2 - 1 * (- 4)
6 = 6

3.
c3 = 3 * 2 + 5 * (- 4)
c3 = 6 - 20
c3 = - 14

Dann setze ich - 14 für c3 in die 3. Komponentengleichung ein und stelle nach r um, dabei kommt dann aber heraus:
6 = 1 - 2r $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ r = - 2,5
4 = 2 - 2r $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ r = - 1
-14 = 3 + 2r $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ r = - 8,5

Und TADAAAA! Das ist mein Ergebnis. Kann irgendwie nicht sein, wenn doch C auf der Geraden liegen soll. Aber ich habe wirklich keine Ahnung wie ich es sonst rechnen könnte.
Ich danke schonmal.

28.08.2013, 21:06

kgV

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Ich gebe dir Recht: c kann unter keinen Umständen auf der Geraden liegen. Das kannst du sogar schon hier ablesen:

Zitat:

Die Komponentengleichungen sind dann:
6 = 1 - 2r
4 = 2 - 2r
c3 = 3 + 2r

Diese Subtraktion führt zu: 2=-1, was iwie nicht sein kann...

Sicher, dass alle Angaben stimmen? Würde der Punkt C z.B. (6/7/c3) heißen, könnte es gehen

lg
kgV
Wink

28.08.2013, 21:12

alterHund

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entweder hast Du falsche Angaben oder es wird eben von Dir verlangt festzustellen
daß
die Aufgabe unlösbar ist.
Das hättest Du schon nach aufstellen der Komponentengleichungen
6 = 1 - 2r
4 = 2 - 2r
sehen können, die 2te verlange r = -1 und das paßt nicht zu 6 = 1 - 2r

auf einer Geraden liegen ja mit bestimmung einer einzigen Koordinate alle anderen fest.

28.08.2013, 21:41

Ding-Dong

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Das es nicht funktioniert konnte ich schon sehen, aber.. ganz ehrlich?
Mein Lehrer gehört zu den Leuten, die immer mit irgendwelchen Tricks und Kniffen kommen und so die Aufgaben lösen, die mir als unlösbar erscheinen.
Also dachte ich hier auch, dass es da irgendetwas geben muss, mit dem man auf das Ergebnis kommt.
Und jup, alle Angaben sind korrekt. Ich habe extra nochmal bei einem Mitschüler nachgefragt.
Mh.. gut, dann.. danke schön für die Antworten!

29.08.2013, 12:50

kgV

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Dann wird es wohl einen Verschreiber bei den Angaben gegeben haben... smile

Gern geschehen Wink

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