Beweis Invertierbarkeit

28.08.2013, 20:55

küb

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Beweis Invertierbarkeit

Meine Frage:
Hey Leute,

könnte mir vllt jemand folgenden Beweis erklären?

Sind A,B invertierbar, so ist auch A*B invertierbar und es gilt

$\begin{eqnarray*} (A*B)^{-1} = B^{-1}*A^{-1} \end{eqnarray*}$

Ich weiß: Eine nxn-Matrix A heißt invertierbar, wenn es eine nxn-Matrix mit $\begin{eqnarray*} A*A^{-1} = A^{-1}*A = I_n \end{eqnarray*}$ gibt.

Ich habe folgendes gefunden:

Es gilt:
$\begin{eqnarray*} (A*B)*(B^{-1}*A^{-1}) = A*(B*B^{-1})*A^{-1}=A*I_n*A^{-1}=A*A^{-1}=I_n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (B^{-1}*A^{-1})*(A*B)=B^{-1}*(A^{-1}*A)*B=B^{-1}*I_n*B=B^{-1}*B=I_n \end{eqnarray*}$

Und somit: $\begin{eqnarray*} (A*B)^{-1} = B^{-1}*A^{-1} \end{eqnarray*}$

Meine Frage:

Wie kommt man am Anfang zu:
$\begin{eqnarray*} (A*B)*(B^{-1}*A^{-1}) = ... \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} <br /> (B^{-1}*A^{-1})*(A*B)= ... \end{eqnarray*}$

Und wieso kann ich folgendes so umformen:
$\begin{eqnarray*} ...=A*I_n*A^{-1}=A*A^{-1}=I_n \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} ...=B*I_n*B^{-1}=B*B^{-1}=I_n \end{eqnarray*}$

Wäre echt nett, wenn mir jemand das erklären könnte..

Meine Ideen:

28.08.2013, 21:01

chris95

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Zu deiner ersten Frage:

Was musst du zeigen, wenn du die Invertierbarkeit zeigen moechtest?

Zu deiner zweiten Frage:

Wie ist denn die Identitaetsmatrix definiert?

28.08.2013, 21:11

küb

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Was musst du zeigen, wenn du die Invertierbarkeit zeigen moechtest?

Die Matrix * ihre Inverse = Einheitsmatrix

Aber wieso schreibe ich statt:
$\begin{eqnarray*} (A*B)^{-1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (A*B)*(B^{-1}*A^{-1}) = ... \end{eqnarray*}$ ?

Und statt $\begin{eqnarray*} B^{-1}*A^{-1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} <br /><br /> (B^{-1}*A^{-1})*(A*B)= ... \end{eqnarray*}$

Wie ist denn die Identitaetsmatrix definiert?

Achja, wenn ich eine Matrix mit dem Einheitsvektor multipliziere, dann habe ich wieder die identische Matrix.

28.08.2013, 21:17

chris95

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Zitat:

Original von küb
Was musst du zeigen, wenn du die Invertierbarkeit zeigen moechtest?

Die Matrix * ihre Inverse = Einheitsmatrix

Wie lautet "Die Matrix" in diesem Fall?

Zitat:

Wie ist denn die Identitaetsmatrix definiert?

Achja, wenn ich eine Matrix mit dem Einheitsvektor multipliziere, dann habe ich wieder die identische Matrix.

Nein, Definition nochmals nachschlagen. Matrix*Vektor = Vektor, deine Antwort kann also gar nicht stimmen.

28.08.2013, 21:21

küb

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Zitat:

Wie lautet "Die Matrix" in diesem Fall?

$\begin{eqnarray*} (A*B)^{-1} \end{eqnarray*}$ Oder nicht?

Zitat:

Nein, Definition nochmals nachschlagen. Matrix*Vektor = Vektor, deine Antwort kann also gar nicht stimmen.

Sry, ich meinte: Matrix*Einheitsmatrix=Matrix

28.08.2013, 21:34

chris95

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Nein, "die Matrix" lautet:

$\begin{eqnarray*} A\cdot B \end{eqnarray*}$

Du musst zeigen, dass $\begin{eqnarray*} A\cdot B \end{eqnarray*}$ invertierbar ist.

Genau, nun hast du die korrekte Definition der Einheitsmatrix. Ist damit der Schritt, der dir noch unklar war, klar?

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28.08.2013, 21:39

küb

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Ich dachte, ich soll $\begin{eqnarray*} (A*B)^{-1} = B^{-1}*A^{-1} \end{eqnarray*}$ zeigen..?

28.08.2013, 21:43

chris95

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Zitat:

Original von küb
Ich dachte, ich soll $\begin{eqnarray*} (A*B)^{-1} = B^{-1}*A^{-1} \end{eqnarray*}$ zeigen..?

Ja das sollst du auch zeigen.

Aber das aendert nichts daran, dass $\begin{eqnarray*} A\cdot B \end{eqnarray*}$ "die Matrix" ist.

28.08.2013, 21:46

küb

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Ja, okay.. Dann ist AB die Matrix..

Dann multipliziere ich AB mit ihrer Inversen.. Also $\begin{eqnarray*} (A*B)*(B^{-1}*A^{-1}) \end{eqnarray*}$

Und ihre Inverse mit der Matrix: $\begin{eqnarray*} <br /><br /><br /> (B^{-1}*A^{-1})*(A*B) \end{eqnarray*}$

Und wie komme ich dann wenn ich

$\begin{eqnarray*} (A*B)*(B^{-1}*A^{-1})= I_n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} <br /><br /><br /> (B^{-1}*A^{-1})*(A*B) = I_n \end{eqnarray*}$

gezeigt habe, auf die Schlussfolgerung: $\begin{eqnarray*} (A*B)^{-1} = B^{-1}*A^{-1} \end{eqnarray*}$

28.08.2013, 21:58

chris95

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Wenn du folgendes gezeigt hast:

$\begin{eqnarray*} (A\cdot B )\cdot (B^{-1} \cdot A^{-1}) = I \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} (B^{-1} \cdot A^{-1}) \cdot (A\cdot B ) = I \end{eqnarray*}$

Was hast du dann gezeigt?

28.08.2013, 22:01

küb

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$\begin{eqnarray*} (A\cdot B )\cdot (B^{-1} \cdot A^{-1}) = (B^{-1} \cdot A^{-1}) \cdot (A\cdot B ) \end{eqnarray*}$

28.08.2013, 22:02

chris95

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Nein, das mein ich nicht.

Bitte zuerst nachdenken, dann schreiben.

28.08.2013, 22:04

küb

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Ich habe gezeigt, dass AB invertierbar ist..

28.08.2013, 22:05

chris95

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Genau, mit welchem Inversen?

28.08.2013, 22:07

küb

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$\begin{eqnarray*} B^{-1}*A^{-1} \end{eqnarray*}$ ?

28.08.2013, 22:08

chris95

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Genau, bist du dann fertig?

28.08.2013, 22:13

küb

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Ich glaube schon.. Oder muss noch was gemacht werden?

28.08.2013, 22:19

chris95

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Nein, du bist fertig.

Zusammengefasst:

Du hast gezeigt, dass, falls A und B invertierbar sind, so ist $\begin{eqnarray*} A\cdot B \end{eqnarray*}$ auch invertierbar und die Inverse von $\begin{eqnarray*} A\cdot B \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} B^{-1} \cdot A^{-1} \end{eqnarray*}$ , also gilt: $\begin{eqnarray*} (A\cdot B)^{-1}= B^{-1} \cdot A^{-1} \end{eqnarray*}$

28.08.2013, 22:22

küb

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Ok

smile

Danke sehr!

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