Prinzip! Taylorformel

29.08.2013, 10:15

Zeit

Taylorformel

Meine Frage:
hallo alle zusammen habe gerade probleme bei einer Aufgabe:

Sei f : R pfeil R x pfeil $\begin{eqnarray*} e^{-3x} \end{eqnarray*}$

(a) Bestimmen Sie das Taylor-Polynom von f mit Entwicklungspunkt 2 vom Höchstgrad 2.
(b) Wir verwenden nun das Polynom aus Teil (a), um die Funktion f auf dem Intervall [0, 2] anzunähern. Zeigen Sie,
das der Fehler, der dabei gemacht wird, kleiner als 36 ist.

Meine Ideen:
Ansatz:

Meine Ableitungen:

$\begin{eqnarray*} f'(x) = -3*e^{-3x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f''(x) = 9*e^{-3x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f''(x) = -27*e^{-3x} \end{eqnarray*}$

Stimmen die Ableitungen soweit?

29.08.2013, 10:46

Cevas

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Ja wohl. Du hast aus Versehen die dritte Ableitung nur mit zwei Strichen geschrieben!!!!

29.08.2013, 14:03

Zeit

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Meine Taylorformel sieht dann so aus:

$\begin{eqnarray*} T_2 = e^{-6}+ \frac{-3e^{-6}}{1!} *(x-2) + \frac{9e^{-6}}{2!}*(x-2)^2 \end{eqnarray*}$

Ausmultipliziert sieht es so aus:

$\begin{eqnarray*} T_2 = e^{-6}-3e^{-6}*x -6e^{-6} + \frac{9e^{-6}}{2}*x^2 -18e^{-6}*x+ 18e^{-6} \end{eqnarray*}$

Stimmt das soweit oder kann ich das noch irgendwie vereinfachen?

29.08.2013, 15:36

Dopap

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Zitat:

Original von Zeit
Meine Taylorformel sieht dann so aus:

$\begin{eqnarray*} T_2 = e^{-6}+ \frac{-3e^{-6}}{1!} *(x-2) + \frac{9e^{-6}}{2!}*(x-2)^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} T_2(x,2) = \frac {1}{2}e^{-6} \left [ 1-6(x-2) + 9(x-2)^2 \right] \end{eqnarray*}$

warum ausmulziplizieren ? 'Sehe dazu keinen Grund. Jetzt noch den maximalen Fehler durch Abschätzung des Restgliedes:

$\begin{eqnarray*} R_2(x,2)=\frac {f'''(\xi)}{3!} (x-2)^3 \end{eqnarray*}$

für ein $\begin{eqnarray*} \xi \text{mit}~~ x<\xi<2~~\text{und} ~~ 0<x<2 \end{eqnarray*}$

29.08.2013, 16:07

Zeit

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Zitat:

Original von Dopap

Zitat:

Original von Zeit
Meine Taylorformel sieht dann so aus:

$\begin{eqnarray*} T_2 = e^{-6}+ \frac{-3e^{-6}}{1!} *(x-2) + \frac{9e^{-6}}{2!}*(x-2)^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} R_2(x,2)=\frac {-27e^{-6x}}{3!} (x-2)^3 \leq 36 \end{eqnarray*}$

Jetzt bräuchte ich wieder mal paar tips beim abschätzen?

29.08.2013, 18:23

Dopap

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Zitat:

Original von Zeit

$\begin{eqnarray*} R_2(x,2)=\frac {-27e^{-{\color{red}6x}}}{3!} (x-2)^3 \leq 36 \end{eqnarray*}$

Jetzt bräuchte ich wieder mal paar tips beim abschätzen?

1.) Vollzitate in direker Antwort sind unerwünscht. Das ist Datenmüll.

2.) $\begin{eqnarray*} MaxF= |R_2(x,2)|=|-\frac 92e^{-3 \xi}(x-2)^3| \qquad \xi ~\text{nicht}~ x \end{eqnarray*}$ !!

Und jetzt überlegen:

a.) für welches $\begin{eqnarray*} \xi \end{eqnarray*}$ im Intervall $\begin{eqnarray*} x<\xi<2 \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} |\exp(-3\xi)| \end{eqnarray*}$ maximal und

b.) für welches x im Intervall $\begin{eqnarray*} 0<x<2 \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} |(x-2)^3| \end{eqnarray*}$ maximal ?

29.08.2013, 19:09

Zeit

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Für a) wäre es bei 2 maximal.

Und für die b , wäre es bei 0 maximal.
Kann das so stimmen?

29.08.2013, 19:11

sulo

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Der Gastuser ist im Board bestens bekannt und fällt seit über einem Jahr durch seine Lernresistenz auf. Seine Beiträge sind fast ausschließlich Fragen nach dem Schema: "Wie genau geht es jetzt weiter?".
Die von ihm stets geforderten kleinschrittigen Lösungshilfen, also Komplettlösungen auf Raten, sind nicht mit unserem Prinzip "Hilfe zur Selbsthilfe" vereinbar.

Um die Helfer vor einer unnötigen Investition von Zeit, Mühe und Geduld zu schützen wird der Thread an dieser Stelle geschlossen.

edit: Auf besonderen Wunsch von Dopap wird an dieser Stelle ausnahmsweise wieder geöffnet.

29.08.2013, 20:03

Dopap

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Also lieber "Zeit" , wenn du deine ( richtigen ) Vermutungen gleich eingesetzt hättest, dann würde solcher Ungemach gar nicht erst entstehen, da dann genügend Mitarbeit erkennbar wäre.
Aber mehrfachposts und gleichzeitiges posten in andere Foren geht gar nicht, denn dann wärst du nur noch der Vermittler zwischen den Helfern, und da wäre ich schon ziemlich sauer. unglücklich

jetzt setz deine Vermutungen ein und zeige damit, dass

$\begin{eqnarray*} maxF \leq 36 \end{eqnarray*}$ gilt.

Weitere Fragen werde ich nicht mehr beantworten !!!

29.08.2013, 20:31

Zeit

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Danke das ihr den Thread wieder geöffnet habt.

Weil wir ja schon fast beim ende waren .

@ Dopap ich habe die frage nirgendswo anders gestellt.

Ok hier mein letzter Schritt :

Ich habe meine Vermutungen einfach eingesetzt:

Und das stehen :

$\begin{eqnarray*} - \frac{9}{2}*e^{-6}*(0-2) \leq 36 \end{eqnarray*}$

Wäre trotzem schön wenn du wenigstens sagen kannst das dieses Ergebnis so in Ordnung ist?

Weil bei der Fehlerabschätzung bin ich mir nie sicher.

29.08.2013, 20:55

Dopap

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Zitat:

Original von Zeit
Danke das ihr den Thread wieder geöffnet habt.

dein Dank sollte mir gelten Lehrer

und da ich nicht mehr antworte nur noch dieses, was keine Antwort ist:

$\begin{eqnarray*} {\color{blue} \bigg |}-\frac{9}{2}*e^{{\color{red}0}}*(0-2)^{\color{blue}3} {\color{blue}\bigg |} \leq 36 \end{eqnarray*}$

für mögliche weitere Fragen siehe hier: [Artikel] Taylorapproximation

der Thread ist damit für mich beendet. Könnte wieder geschlossen werden.

29.08.2013, 21:00

Zeit

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Danke Dopap. Wink

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