Funktionalanalysis

29.08.2013, 10:39

Cevas

Funktionalanalysis

Meine Frage:
Ist die Folge der Grenzwerte aller Folgen im Folgenraum der konvergenten Folgen eine Cauchy Folge?

Meine Ideen:
Ich gehe gerade den Beweis durch, dass der Folgenraum der konvergenten Folgen ein Banachraum ist. Die betrachten Folgen von Folgen. Wie selbstverständlich nehmen sie die Folge der Grenzwerten und sagen die sei Cauchy!! (Funktionalanalysis: D. Werner Seite 8)

29.08.2013, 11:15

Che Netzer

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RE: Funktionalanalysis
Die Notation im Werner finde ich da auch nicht sonderlich schön, aber aus deiner Frage geht in keiner Weise hervor, was du meinst. Dazu war der Blick ins Buch nötig.

Die Begründung wird aber durchaus geliefert:

Zitat:

Wegen $\begin{eqnarray*} \lvert\lim_{m\to\infty}s_m\rvert\leq\lVert(s_m)\rVert_\infty \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} (s_m)\in c \end{eqnarray*}$ ...

Wende das auf $\begin{eqnarray*} \bigl(t_m^{(n)}-t_{m'}^{(n)}\bigr)_n\in c \end{eqnarray*}$ an.

29.08.2013, 12:54

Cevas

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Vielen Dank für die Mühe und die schnelle Antwort!!!

Ich habe gedacht ich sollte $\begin{eqnarray*} | t_{\infty }^{(n)} - t_{\infty }^{(m)}| \leq \epsilon \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ zeigen.

Wenn ich dein Hinnweis folge, bekomme ich:
$\begin{eqnarray*} |lim_{n \to \infty } t_{m}^{(n)} - t_{m'}^{(n)}| \leq \|t_{m}^{(n)} - t_{m'}^{(n)}\| \end{eqnarray*}$ ?

Ich weiss auch, dass die entstehende Differenzenfolge Cauchy sein muss, da sie auch konvergent ist!

29.08.2013, 12:58

Che Netzer

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Ah ja, da sind mir die Indizes verrutscht: Ich meinte $\begin{eqnarray*} (s_m)=\bigl(t_m^{(n)}-t_m^{(n')}\bigr)_m=x_n-x_{n'}\in c \end{eqnarray*}$ .

29.08.2013, 13:17

Cevas

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Ich verstehe leider trotzallem nicht, wie ich es mit der Epsilon handeln muss??

29.08.2013, 13:35

Che Netzer

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Hast du denn schonmal aufgeschrieben, wie die Ungleichung aussieht, wenn du $\begin{eqnarray*} (s_m)_m=x_n-x_{n'} \end{eqnarray*}$ einsetzt?

29.08.2013, 14:03

Cevas

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$\begin{eqnarray*} |\lim_{m \to \infty } s_{m} | = |\lim_{m \to \infty } t_{m}^{(n)}-t_{m}^{(n')} |\leq \|t_{m}^{(n)}-t_{m}^{(n')}\| \end{eqnarray*}$
Wobei die linke Seite eine Norm in K und die rechte in c, dem Folgenraum!!

29.08.2013, 14:06

Che Netzer

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Und die linke Seite ist $\begin{eqnarray*} \bigl\lvert t_\infty^{(n)}-t_\infty^{(n')}\bigr\rvert \end{eqnarray*}$ .
Kannst du jetzt erkennen, wieso $\begin{eqnarray*} (t_\infty^{(n)})_n \end{eqnarray*}$ eine Cauchy-Folge ist, wenn $\begin{eqnarray*} (x_n) \end{eqnarray*}$ eine ist?

(In deiner Norm fehlen übrigens Klammern, damit auch wirklich eine Folge darin steht)

29.08.2013, 14:24

Cevas

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Na klar, vielen Dank!!!

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