Aufgabe aus Ana I, Funktion finden

29.08.2013, 12:07

Nullfolger

Aufgabe aus Ana I, Funktion finden

Meine Frage:
Hier die Aufgabe (sorry für mein fehlendes Latex, hab nach 10 min aufgegebn, weil ich dachte, hier bin ich bestimmt nicht sooft ^^)

Gegeben ist eine Funtion f mit (-1,1)->(0,plus unendlich), der Funktionswert an der Stelle 0 sei 1. Zeigen sie, dass

lim (x->0) (f(x))^(1/x) = e^(f´(0))

Meine Ideen:
Was ich geschrieben hab ist sowas von falsch -.-

f(0)=1 hatten wir ja gegeben und ich hab in der Eile der Zeit, bitte nicht lachen, f´(0)=0 gesetzt, weil ich den konkreten Wert abgeleitet hab und eine Zahl ohne Variable abgeleitet immer 0 ergibt. Keine 5 Minuten nach Abgabe des Blattes war mir klar, wie idiotische ich jetzt wirke, ohne das mich jemand daruaf hinweisen musste. Aus diesem Grund will ich auch versuchen, die Aufgabe mal korrekt zu lösen.

wenn ich f(x)=e^x setze hätte ich
lim (x->o) (e^x)^(1/x) = e^f´(0)
also lim (x->0) e^1 = e^(e^0) (da f(x)=e^x und f´(x)=e^x ist f´(0)=e^0)
also e^1=e^1
mein Problem dabei ist, das e^x für (-1,1) nicht auf (0,plus unendlich) abzeichnet. Ratschläge gerne auch per PN, vielen Dank!
Gruß die Null

29.08.2013, 12:22

lgrizu

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RE: Aufgabe aus Ana I, Funktion finden
Du musst keine explizite Funktion angeben, die das erfüllt, du sollst das ganz allgemein zeigen.

Wenn ich nichts übersehe sind das auch einfache Äquivalenzumformungen:

$\begin{eqnarray*} \ln f(0)=f'(0) \cdot \lim_{x \to 0} x \end{eqnarray*}$ Hier steht so etwas wie 0=0, da $\begin{eqnarray*} f(0)=1 \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} \ln f(0)=0 \end{eqnarray*}$ , und dass die rechte Seite 0 wird ist wohl klar.

Wir dividieren durch $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} x \end{eqnarray*}$ und erhalten:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{ \lim_{x \to 0}x} \cdot \ln f(0)=f'(0) \end{eqnarray*}$

Nun ein bisschen Grenzwertsätze und Exponentialfunktionen und wir haben das gewünschte.

29.08.2013, 12:35

Nullfolger

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RE: Aufgabe aus Ana I, Funktion finden
Ja, das sehe ich ein, das heißt man bestimmt die Funktion gar nicht konkret sondern zeigt es allgemein. Es war ja auch nicht gefragt nach "zeigen sie, es existiert ein f(x) mit ..."

Dass man aus der linken Seite lim(x->0) 1/x * ln f(0) machen kann, wenn man den ln davon bildet, wäre mir wahrscheinlich nie in den Sinn gekommen unglücklich

aber so wie es jetzt dasteht, ist es verständlich, danke!

Gruß die Null Wink

29.08.2013, 12:41

Che Netzer

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RE: Aufgabe aus Ana I, Funktion finden

Zitat:

Original von lgrizu
Wir dividieren durch $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} x \end{eqnarray*}$ und erhalten

Man darf natürlich nicht durch Null teilen.
Man hätte auch mit $\begin{eqnarray*} \ln f(0)=\sqrt{\pi+1}\lim_{x\to0}x \end{eqnarray*}$ anfangen können

29.08.2013, 12:46

bijektion

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Hallo, ich habe mich grade aus Interesse mit der Aufgabe beschäftigt und habe einen anderen Lösungsweg benutzt. Könnte bitte jemand drüber gucken und mir sagen ob der evtl. an einer Stelle nicht ganz schlüssig ist?

Also: $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} (f(x))^{\frac{1}{x}} = \lim_{x \to 0} (f(x)-1+1)^{\frac{1}{x}} = \lim_{x \to 0} (1+x \cdot(\frac{f(x)-1}{x}))^{\frac{1}{x}} \end{eqnarray*}$ , jetzt ist ja $\begin{eqnarray*} f'(0)=\lim_{x \to 0} \frac{f(x)-1}{x} \end{eqnarray*}$ und da $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} (1+\frac{a}{n})^n = \lim_{y \to 0} (1+y \cdot a)^{\frac{1}{y}} = e^a \end{eqnarray*}$ gilt, folgt $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} (1+x \cdot(\frac{f(x)-1}{x}))^{\frac{1}{x}} = e^{f'(0)} \end{eqnarray*}$ .

Kann man das so machen oder geht das formal nicht?

29.08.2013, 13:52

Che Netzer

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Das geht zwar, man benötigt aber die etwas stärkere Aussage
$\begin{eqnarray*} \left(1+\frac{a_n}n\right)^n\to\mathrm e^a \end{eqnarray*}$
für $\begin{eqnarray*} a_n\to a \end{eqnarray*}$ .

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