Fourierreihe entwickeln

29.08.2013, 14:33

Ardente

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Fourierreihe entwickeln

Meine Frage:
Hallo,
ich wiederhole gerade folgende Aufgabe:
$\begin{eqnarray*} f(t)= \begin{pmatrix} t\Rightarrow 0\leq t < 1 \\ 1\Rightarrow 1\leq t<2 \\ 3-t\Rightarrow 2\leq t <3 \\ 0\Rightarrow 3\leq t<4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Dazu soll ich erstmal die Fourierreihe entwickeln.

Meine Ideen:
Die Periode T ist 4 und die Kreisfrequenz $\begin{eqnarray*} Wo=\frac{1}{2}\pi \end{eqnarray*}$ .

Eine Fourierreiche hat ja die allgemeine Form:
$\begin{eqnarray*} f(t)=\frac{ao}{2}+\sum\limits_{k=1}^\infty ak*cos(k*t)+bk*sin(k*t) \end{eqnarray*}$

Die einzelnen Koeffizienten lassen sich allgemein so berechnen:

$\begin{eqnarray*} a0=\frac{2}{T}*(\int_0^T \! f(t) \, dt \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ak=\frac{2}{T}*(\int_a^b \! f(t)*cos(k*wo*t) \, dt \end{eqnarray*}$
Da sich ak und bk nur im sin und cos unterscheiden beziehe ich mich jetzt erstmal nur auf ak.

ao zu berechnen bekomme ich ganz einfach hin, da habe ich in diesem Fall a0 = 1 raus.

Mein Problem liegt den ak und bk.
Wenn ich es richtig verstanden habe, bekomme ich keinen genauen Wert heraus, sondern nur eine allgemeine Form, mit der ich a1, a2, usw. berechnen kann oder?
Ich weiß nicht genau, ob ich das richtig mache, aber für ak hab ich folgendes raus:

$\begin{eqnarray*} ak=\frac{2}{T}*(\int_a^b \! f(t)*cos(k*wo*t) \, dt \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} \frac{2}{4}*(\int_0^1 \! t*cos(k*\frac{1}{2}\pi *t) \, + \int_1^2 \! 1*cos(k*\frac{1}{2}\pi *t) \, + \int_2^3 \! (3-t)*cos(k*\frac{1}{2}\pi *t) \,) \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} \frac{2}{4}*(\left[\frac{t*sin(k*\frac{1}{2}\pi *t) }{k*\frac{1}{2}\pi}\right]_{0}^{1}+\left[\frac{sin(k*\frac{1}{2}\pi*t) }{k*\frac{1}{2}\pi}\right]_{1}^{2}+\left[\frac{(3-t)*sin(k*\frac{1}{2}\pi *t) }{k*\frac{1}{2}\pi }\right]_{2}^{3}) \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} \frac{2}{4}*(\frac{sin(k*\frac{1}{2}\pi) }{k*\frac{1}{2}\pi}+ (\frac{sin(k*\frac{1}{2}\pi*2) }{k*\frac{1}{2}\pi }- \frac{sin(k*\frac{1}{2}\pi) }{k*\frac{1}{2}\pi })-\frac{sin(k*\frac{1}{2}\pi*2) }{k*\frac{1}{2}\pi } \end{eqnarray*}$

Das kann man bestimmt auch noch kürzen, doch ich bin mir unsicher was ich da so einfach streichen kann.
Ist das überhaupt so richtig bis jetzt?

29.08.2013, 14:56

Steffen Bühler

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RE: Fourierreihe entwickeln
Aus Gründen der Übersicht würde ich erst einmal $\begin{eqnarray*} \omega_0 \end{eqnarray*}$ so stehenlassen bzw. nur $\begin{eqnarray*} \omega \end{eqnarray*}$ schreiben, die vielen $\begin{eqnarray*} \frac12 \pi \end{eqnarray*}$ verwirren. Ist natürlich Geschmackssache.

Aber dann musst Du die Integrationsregeln noch einmal bedenken.

Was ist die Stammfunktion von x*cos(a*x)?

Was die von (3-x)*cos(a*x)?

Viele Grüße
Steffen

30.08.2013, 13:56

Ardente

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Hö? Wieso ist das falsch?

Ich habe zum vergleichen bei einer ähnlichen Aufgabe in die Lösung vom Professor geguckt.
Da hat er zu dem Integral $\begin{eqnarray*} \int_0^1 \! (1+t)*cos(k*\omega_0*t) \, dt \end{eqnarray*}$

folgende Stammfunktion gebildet: $\begin{eqnarray*} \left[\frac{(1+t)*sin(k*\omega_0*t}{k*\omega_0} \right]_{0}^{1} \end{eqnarray*}$ .

Da bin ich jetzt verwirrt. Es ist doch vom Prinzip her sehr ähnlich.

30.08.2013, 14:16

Steffen Bühler

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Da hat er sich vertan, auch Professoren können mal irren. Oder es war ein Übertragungsfehler, ein Missverständnis oder eine Vereinfachung, die in diesem speziellen Fall vielleicht zulässig war.

EDIT: für T=1 würde das nämlich funktionieren. Siehst Du, warum? Hier ist aber T=4.

Ich will jetzt nicht die Integrationsregeln runterbeten, aber unser hauseigenes Integriertool sagt:

$\begin{eqnarray*} \int \left(\left(x+1\right)\,\cos \left(k\,w\,x\right)\right) \dd x={{\left(k\,w\,x+k\,w\right)\,\sin \left(k\,w\,x\right)+\cos \left(k \,w\,x\right)}\over{k^2\,w^2}} \end{eqnarray*}$

Viele Grüße
Steffen

30.08.2013, 14:53

Ardente

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Okay, also sieht die Aufgabe dann so aus:

$\begin{eqnarray*} = \left[\frac{2}{4}*(\frac{(kwt)*sin(kwt)+cos(kwt)}{k^{2}* w^{2} }\right]_{0}^{1} + \left[\frac{sin(kwt)}{k*w} \right]_{1}^{2} + \left[\frac{(3kw-kwt)*sin(kwt)+cos(kwt)}{k^{2}*w^{2} } \right]_{2}^{3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{2}{4}*(\frac{(kw)*sin(kw)+cos(kw)}{k^{2}*w^{2} } + (\frac{sin(2kw)}{k*w} - \frac{sin(kw)}{k*w})-\frac{(kw)*sin(2kw)+cos(2kw)}{k^{2}*w^{2} } ) \end{eqnarray*}$

Ist das jetzt richtig?

30.08.2013, 15:26

Steffen Bühler

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Zitat:

Original von Ardente
$\begin{eqnarray*} = \left[\frac{2}{4}*(\frac{(kwt)*sin(kwt)+cos(kwt)}{k^{2}* w^{2} }\right]_{0}^{1} + \left[\frac{sin(kwt)}{k*w} \right]_{1}^{2} + \left[\frac{(3kw-kwt)*sin(kwt)+cos(kwt)}{k^{2}*w^{2} } \right]_{2}^{3} \end{eqnarray*}$

Das + vor dem letzten coskwt müsste ein Minus sein, oder irre ich mich?

Zitat:

Original von Ardente
$\begin{eqnarray*} = \frac{2}{4}*(\frac{(kw)*sin(kw)+cos(kw)}{k^{2}*w^{2} } \end{eqnarray*}$

Das ist der Teil für t=1. Für t=0 wird aber dieser Term nicht einfach Null!

Zitat:

Original von Ardente
$\begin{eqnarray*} + (\frac{sin(2kw)}{k*w} - \frac{sin(kw)}{k*w}) \end{eqnarray*}$

Das sieht gut aus.

Zitat:

Original von Ardente
$\begin{eqnarray*} -\frac{(kw)*sin(2kw)+cos(2kw)}{k^{2}*w^{2} } ) \end{eqnarray*}$

Hier fehlt irgendwo ein cos3kw. Und dann noch der Vorzeichenfehler von oben, falls ich mich nicht irre.

Ansonsten passt's aber.

Nun kannst Du endlich $\begin{eqnarray*} \omega= \frac {\pi}2 \end{eqnarray*}$ einsetzen. Dann überleg Dir mal, was z.B. aus $\begin{eqnarray*} \sin 2 \cdot k \cdot \omega = \sin 2 \cdot k \cdot \frac {\pi}2 = \sin k \cdot \pi \end{eqnarray*}$ wird, wenn k eine natürliche Zahl ist.

Viele Grüße
Steffen

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30.08.2013, 16:00

Ardente

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Zitat:

Original von Steffen Bühler

Zitat:

Original von Ardente
$\begin{eqnarray*} = \left[\frac{2}{4}*(\frac{(kwt)*sin(kwt)+cos(kwt)}{k^{2}* w^{2} }\right]_{0}^{1} + \left[\frac{sin(kwt)}{k*w} \right]_{1}^{2} + \left[\frac{(3kw-kwt)*sin(kwt)+cos(kwt)}{k^{2}*w^{2} } \right]_{2}^{3} \end{eqnarray*}$

Das + vor dem letzten coskwt müsste ein Minus sein, oder irre ich mich?

Das Integriertool sagt +

Zitat:

Zitat:

Original von Ardente
$\begin{eqnarray*} = \frac{2}{4}*(\frac{(kw)*sin(kw)+cos(kw)}{k^{2}*w^{2} } \end{eqnarray*}$

Das ist der Teil für t=1. Für t=0 wird aber dieser Term nicht einfach Null!

Ach stimmt, da steht ja noch + cos.
Also dann $\begin{eqnarray*} = \frac{2}{4}*(\frac{1}{k^{2}*w^{2} }-\frac{(kw)*sin(kw)+cos(kw)}{k^{2}*w^{2} })) \end{eqnarray*}$

Zitat:

Zitat:

Original von Ardente
$\begin{eqnarray*} -\frac{(kw)*sin(2kw)+cos(2kw)}{k^{2}*w^{2} } ) \end{eqnarray*}$

Hier fehlt irgendwo ein cos3kw. Und dann noch der Vorzeichenfehler von oben, falls ich mich nicht irre.

Ja, wie oben. Das cos fällt ja garnicht weg.
Hier ist das dann:

$\begin{eqnarray*} (\frac{cos(3kw)}{k^{2}*w^{2} } -\frac{(kw)*sin(2kw)+cos(2kw)}{k^{2}*w^{2} } ) \end{eqnarray*}$

Nochmal ganz sieht es dann so aus:

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{4}*((\frac{1}{k^{2}*w^{2} }-\frac{(kw)*sin(kw)+cos(kw)}{k^{2}*w^{2} })+(\frac{sin(2kw)}{k*w} - \frac{sin(kw)}{k*w})+(\frac{cos(3kw)}{k^{2}*w^{2} } -\frac{(kw)*sin(2kw)+cos(2kw)}{k^{2}*w^{2} } ) \end{eqnarray*}$

So müsste das jetzt richtig sein.
Dann überlege ich mal, was passiert, wenn k eine natürliche Zahl ist.

Vielen Dank bis hierhin smile

smile

30.08.2013, 16:14

Steffen Bühler

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Zitat:

Original von Ardente

Zitat:

Original von Steffen Bühler

Zitat:

Original von Ardente
$\begin{eqnarray*} = \left[\frac{2}{4}*(\frac{(kwt)*sin(kwt)+cos(kwt)}{k^{2}* w^{2} }\right]_{0}^{1} + \left[\frac{sin(kwt)}{k*w} \right]_{1}^{2} + \left[\frac{(3kw-kwt)*sin(kwt)+cos(kwt)}{k^{2}*w^{2} } \right]_{2}^{3} \end{eqnarray*}$

Das + vor dem letzten coskwt müsste ein Minus sein, oder irre ich mich?

Das Integriertool sagt +

Ich widerspreche nur ungern, aber das Integriertool schreibt ein Minuszeichen vor das Ganze:

$\begin{eqnarray*} \int \left(\left(3-x\right)\,\cos \left(k\,w\,x\right)\right) \dd x=-{{\left(k\,w\,x-3\,k\,w\right)\,\sin \left(k\,w\,x\right)+\cos \left(k\,w\,x\right)}\over{k^2\,w^2}} \end{eqnarray*}$

Das hast Du zwar einmal berücksichtigt, indem Du den Term kwt-3kw umgedreht hast, aber der cos sollte das Minus eben auch abbekommen.

Zitat:

Original von Ardente
Dann überlege ich mal, was passiert, wenn k eine natürliche Zahl ist.

Ja, Du wirst bei dieser (ziemlich knackigen) Aufgabe auf Fälle stoßen, die nur Null ergeben, die nur Eins ergeben, aber auch auf Fälle, wo's alterniert. Dann denk an die Vereinfachung $\begin{eqnarray*} (-1)^k \end{eqnarray*}$ ...

Zitat:

Original von Ardente
Vielen Dank bis hierhin

Gern geschehen. Ich muss Dich nun aber leider übers Wochenende alleine weiterkämpfen lassen. Ein schönes solches!

Viele Grüße
Steffen

03.09.2013, 13:41

Ardente

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Tut mir Leid, dass ich erst jetzt wieder antworte.
Meine Freundin hat Schluss gemacht und ich bin immer noch völlig fertig deswegen.
Aber ich muss ja trotzdem für die Klausur nächste Woche lernen, auch wenn es mir gerade ziemlich schwer fällt...

So richtig verstanden habe ich das mit dem einsetzen der natürlichen Zahl noch nicht. Es kommt doch darauf an welche ich einsetzte.
Z.B. der erste Term 1/k²*w² geht doch für große natürliche Zahlen gegen 0.
Alternierend sind doch die Cosinus- und Sinus-Terme oder?

03.09.2013, 14:32

Steffen Bühler

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Zitat:

Original von Ardente
der erste Term 1/k²*w² geht doch für große natürliche Zahlen gegen 0.

Das auch, aber Du brauchst ja jetzt die einzelnen ak. Mit $\begin{eqnarray*} \omega=\frac {\pi}2 \end{eqnarray*}$ steht dann da $\begin{eqnarray*} \frac 1 {k^2 \cdot \frac {\pi ^2}4} = \frac 4 {k^2 \cdot \pi ^2} \end{eqnarray*}$

Wenn Du dann a1 angeben willst, setzt Du k=1 und da steht $\begin{eqnarray*} \frac 4 {\pi ^2} \end{eqnarray*}$

Bei a2 ergibt sich für diesen Term $\begin{eqnarray*} \frac 4 {4 \cdot \pi ^2} = \frac 1 {\pi ^2} \end{eqnarray*}$

Und so weiter.

Zitat:

Original von Ardente
Alternierend sind doch die Cosinus- und Sinus-Terme oder?

Ja, nehmen wir mal den darauffolgenden Term $\begin{eqnarray*} \frac{(kw)*sin(kw)+cos(kw)}{k^{2}*w^{2} } \end{eqnarray*}$

Mit $\begin{eqnarray*} \omega=\frac {\pi}2 \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} \frac{(k \frac {\pi}2)*sin(k \frac {\pi}2)+cos(k \frac {\pi}2)}{k^{2}*\frac {\pi ^2}4 } \end{eqnarray*}$

Für k=1 verschwindet der Cosinusterm, der Sinusterm wird Eins, somit bleibt hier

$\begin{eqnarray*} \frac{\frac {\pi}2}{\frac {\pi ^2}4 } = \frac 2 {\pi} \end{eqnarray*}$

Für k=2 wird dagegen der Sinusterm Null, der Cosinusterm geht auf -1. Schau Dir diese Regelmäßigkeiten mal in Ruhe an, es werden hier immer nur -1, 0 und 1 auftauchen.

Wenn Du den Rest der Formel noch korrigiert hast, kannst Du dann ans Vereinfachen gehen, so dass keine sin- und cos-Terme mehr da stehen.

Viele Grüße
Steffen

04.09.2013, 14:54

Ardente

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Ich verstehe das Prinzip, aber es hapert gerade an der Umsetzung bei mir, obwohl es eigentlich ja gar nicht so schwer ist.

Den ersten Term bekomme ich noch hin, aber beim zweiten hab ich Probleme:

Für k=1 bekomme ich beim Sinusterm 0,027, also gegen 0 raus. Für den Cosinusterm 0,99, also gegen 1.

Für k=2 bekomme ich aber fast das Gleiche raus.

Irgendwas übersehe ich doch bestimmt gerade, hmm.

04.09.2013, 15:17

Steffen Bühler

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Zitat:

Original von Ardente
Für k=1 bekomme ich beim Sinusterm 0,027, also gegen 0 raus. Für den Cosinusterm 0,99, also gegen 1.

Das brauchst Du gar nicht zu rechnen, denn sin(pi/2) ist Eins (und zwar exakt Eins ), genau wie cos(pi/2) exakt Null ist. Das weiß man.

Wenn Du aber unbedingt rechnen willst, stell den Taschenrechner auf RAD. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Denn mit DEG bekomme ich auch Deine Werte.

Zitat:

Original von Ardente
Für k=2 bekomme ich aber fast das Gleiche raus.

Dürfte an Obigem liegen.

Viele Grüße
Steffen

04.09.2013, 15:35

Ardente

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Das hab ich ja ganz vergessen den Taschenrechner wieder umzustellen, danke!

Also kommt bei k=1 raus:

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{4}*((\frac{4}{\pi ^{2} } - \frac{2}{\pi }) + (0-\frac{2}{\pi }) + (0 - \frac{-4}{\pi ^{2} })) = -0,23 \end{eqnarray*}$

Bei der Aufgabe im Teil c steht:

Bestimmen sie die Werte A0, A1,...,A6 des Amplitudenspektrums.

Mach ich das gerade oder ist das noch was anderes?

04.09.2013, 15:59

Steffen Bühler

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Wenn da die Formel

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{4}* \left( \left[\frac{(kwt)*sin(kwt)+cos(kwt)}{k^{2}* w^{2} }\right]_{0}^{1} + \left[\frac{sin(kwt)}{k*w} \right]_{1}^{2} + \left[\frac{(3kw-kwt)*sin(kwt)-cos(kwt)}{k^{2}*w^{2} } \right]_{2}^{3} \right) \end{eqnarray*}$

vollständig eingeflossen ist, dann berechnest Du in der Tat die Werte a1 bis a6.

Der Wert a0, also der doppelte Gleichrichtwert, kann mit dieser Formel natürlich nicht berechnet werden, weil sonst Null im Nenner erscheinen würde. Aber den Gleichrichtwert kann man ja hier fast zu Fuß ausrechnen, indem man die Flächen zusammenzählt und durch 4 teilt.

Viele Grüße
Steffen

04.09.2013, 16:47

Ardente

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Ja, ich hab vorher die Formel wegen dem falschen Vorzeichen korrigiert.

a0 habe ich doch schon ganz am Anfang berechnet mit der Formel:

$\begin{eqnarray*} a0=\frac{2}{T}*(\int_0^T \! f(t) \, dt) \end{eqnarray*}$ oder?

Das Ganze müsste ich jetzt noch mit bk machen.

Aber vielen, vielen Dank für deine Mühe und Geduld!

Damit kann die Klausur nächste Woche kommen! smile

smile

04.09.2013, 16:51

Steffen Bühler

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Zitat:

Original von Ardente
Ja, ich hab vorher die Formel wegen dem falschen Vorzeichen korrigiert.

Gut, dann wird's passen. (Ich hab jetzt nicht nachgerechnet.)

Zitat:

Original von Ardente
a0 habe ich doch schon ganz am Anfang berechnet

Hups, stimmt, hab ich vergessen. Und der Wert a0=1 stimmt natürlich.

Zitat:

Original von Ardente
Damit kann die Klausur nächste Woche kommen!

Guten Erfolg!

Viele Grüße
Steffen

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