Perle auf rotierenden Drahtring

29.08.2013, 14:42

royal

Perle auf rotierenden Drahtring

Hallo, ich bereite mich gerade auf eine Prüfung vor, und brauche dringend Hilfe:

ich habe folgende Gleichung:

$\begin{eqnarray*} E(Kinetisch)=\frac{m}{2} \cdot x^{2}\cdot y^{2} \cdot z^{2} \end{eqnarray*}$

mit folgenden Formeln für x', y' und z' (Siehe
Anhang)

nun verknappt sich nach einsetzten von x', y' und z' die Formel laut Lösung auf:
$\begin{eqnarray*} E(Kin)=\frac{mR^{2} }{2}w^{2} \cdot \sin^{2}(q)+q'^{2} \end{eqnarray*}$

ich komme nicht darauf wie dies gekürzt wurde

Meine Ideen:
hab folgendes Probiert:
1. x', y' und z' eingesetzt
2. Binomische Formeln angewendet
3. versucht zu Kürzen
4. Verzweifelt

29.08.2013, 15:29

Che Netzer

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RE: Perle auf rotierenden Drahtring

Zitat:

Original von royal
$\begin{eqnarray*} E(Kinetisch)=\frac{m}{2} \cdot x^{2}\cdot y^{2} \cdot z^{2} \end{eqnarray*}$

Sicher, dass die Formel stimmt?

29.08.2013, 18:57

royal

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RE: Perle auf rotierenden Drahtring
nein tut sie nicht so ein mist, vielen Dank sind keine Pluse sondern Malzeichen
jetzt guck ich mal obs so klappt und melde mich später

29.08.2013, 19:46

royal

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RE: Perle auf rotierenden Drahtring
also: die Formel war wirklich falsch, es muss lauten E(kin)= $\begin{eqnarray*} x'^{2}\cdot y'^{2}\cdot z'^{2} \end{eqnarray*}$ .

Aber das Problem ist immernoch, dass ich über 2 Seiten zum kürzen brauch, da gab es logischerweise Fehler und das Ergebnis passt nicht. Gibt es irgendeinen Kniff, der das Kürzen verkürzt? (tolles Wortspiel).

meine Vorgehensweise:
1.Einsetzen
2. erstmal nur x'²*y'²
3.Binomische Formeln
4. trigometrische Pytagoras
5. das ganze mal z'²
6. merken das ein haufen Fehler passiert sind

29.08.2013, 20:02

Che Netzer

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RE: Perle auf rotierenden Drahtring
Ich hätte ja auf $\begin{eqnarray*} E_{\mathrm{kin}}=\frac m2(\dot x^2+\dot y^2+\dot z^2) \end{eqnarray*}$ getippt verwirrt

30.08.2013, 09:47

Ehos

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Aus deinen spärlichen Angaben habe ich mir die Aufgabe wie folgt zusammengereimt:
-------------------------
Gegeben ist ein kreisförmiger Drahtring mit dem Radius R. Der Koordinatenursprung liegt in die Kreismitte. Die Drahtebene liegt senkrecht zur xy-Ebene, wobei der Winkel der Drahtebene zur x-Achse mit $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ bezeichnet wird. Auf dem Kreis gleitet ein Massepunkt der Masse m infolge der Schwerkraft vom "Norpol" nach unten. Sein momentaner Winkel mit der z-Achse sei $\begin{eqnarray*} \theta \end{eqnarray*}$ . (Ich verwende die Variable $\begin{eqnarray*} \theta \end{eqnarray*}$ anstelle von q.) Die Koordinaten des Massepunktes lauten in üblichen Kugelkoordinaten

$\begin{eqnarray*} x=R\cos(\phi) sin(\theta) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y=R\sin(\phi) \sin(\theta) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} z=R\cos(\theta) \end{eqnarray*}$

Die Kreisebene dreht sich mit der konstanten Winkelgeschwindigkeit $\begin{eqnarray*} \omega \end{eqnarray*}$ um die senkrechte z-Achse. Wir müssen also setzen $\begin{eqnarray*} \phi=\omega\cdot t \end{eqnarray*}$ . Das ergibt

$\begin{eqnarray*} x=R\cos(\omega t) sin(\theta) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y=R\sin(\omega t) \sin(\theta) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} z=R\cos(\theta) \end{eqnarray*}$

Die Ableitung dieser Koordinaten x, y, z nach der Zeit ergibt, da der Winkel $\begin{eqnarray*} \theta \end{eqnarray*}$ zeitabhängig ist

$\begin{eqnarray*} \dot x=-R \omega \sin(\omega t) sin(\theta)+R\dot \theta \cos(\omega t)\cos(\theta) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \dot y=R \omega \cos(\omega t) sin(\theta)+R\dot \theta \sin(\omega t)\cos(\theta) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \dot z=-R\dot \theta \sin(\theta) \end{eqnarray*}$

Setze dies in die bekannte Formel der kinetischen Energie $\begin{eqnarray*} T=\tfrac{m}{2}\cdot [\dot x^2+\dot y^2+\dot z^2] \end{eqnarray*}$ ein.

Berechnet man darin die Ausdrücke $\begin{eqnarray*} \dot x^2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \dot y^2 \end{eqnarray*}$ mit der binomischen Formel, heben sich die gemischten Summanden gegenseitg auf, so dass die ersten beiden Summanden der kinetischen Energie ergeben

$\begin{eqnarray*} \tfrac{m}{2}\cdot [\dot x^2+\dot y^2]=\tfrac{m}{2}\cdot [R^2\omega^2\sin^2(\theta)+R^2\dot \theta ^2\cos^2(\theta)] \end{eqnarray*}$

Der dritte Summand der kinetischen Energie ergibt

$\begin{eqnarray*} \tfrac{m}{2} \dot z^2=\tfrac{m}{2}\cdot [R^2\dot \theta ^2\sin^2(\theta)] \end{eqnarray*}$

Addiert man die beiden letzten Formeln, ergibt sich die kinetische Energie in Kugelkoordinaten

$\begin{eqnarray*} T=\tfrac{m}{2}\cdot [\dot x^2+\dot y^2+\dot z^2]=\tfrac{m}{2}R^2\cdot [\omega^2\sin^2(\theta)+\dot \theta ^2] \end{eqnarray*}$

Das stimmt nicht ganz überein mit dem, was du erwartest, denn du hast in deinem Ergebnis die Klammer nicht richtig gesetzt..

01.09.2013, 18:55

royal

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Vielen Dank für die freundliche Hilfe

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