Zwei Abbildungen, Bijektivität

29.08.2013, 15:06	HALP	Auf diesen Beitrag antworten »
Zwei Abbildungen, Bijektivität Edit (mY+): Schreibe bitte keine kryptische Überschriften. Was soll "\|f?¹({y})\| = 1 für jedes y \in aus Y" denn das sein? Titel geändert. Zudem fehlten einige LaTeX-Tags. Steffen Meine Frage: Sind $\begin{eqnarray} f: X \longrightarrow Y \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} g: Y \longrightarrow X \end{eqnarray}$ zwei Abbildungen mit den Eigenschaften $\begin{eqnarray} g \circ f = idX \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} f \circ g = idY \end{eqnarray}$ , so sind g und f bijektiv. Wir wollen diese Aussage nun umkehren, d.h. wir erklären zu einer bijektiven Abbildung $\begin{eqnarray} f: X \longrightarrow Y \end{eqnarray}$ eine neue Abbildung $\begin{eqnarray} g: Y \longrightarrow X \end{eqnarray}$ , sodass die beiden Gleichheiten $\begin{eqnarray} g \circ f = idX \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} f \circ g = idY \end{eqnarray}$ erfüllt sind. Ist $\begin{eqnarray} f: X \longrightarrow Y \end{eqnarray}$ eine bijektive Abbildung, so existiert zu jedem $\begin{eqnarray} y \in Y \end{eqnarray}$ genau ein $\begin{eqnarray} x \in X \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} f(x) = y \end{eqnarray}$ d.h. $\begin{eqnarray} \|f?¹({y})\| = 1 \end{eqnarray}$ für jedes $\begin{eqnarray} y \in aus Y \end{eqnarray}$ ==> Warum kommt bei der allerletzten Gleichung eine 1 raus? Meine Ideen: .
29.08.2013, 15:32	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zwei Abbildungen, Bijektivität Zunächst einmal: Deine Frage ist vollkommen unleserlich. Ich konnte dennoch erraten, was du meinst, aber beim nächsten Mal schreib die Frage gleich ordentlich auf. Nochmal entziffer ich das nicht. Wenn $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ genau ein Urbild $\begin{eqnarray} x\in X \end{eqnarray}$ hat, dann ist die Kardinalität von $\begin{eqnarray} f^{-1}(\{y\}) \end{eqnarray}$ nunmal definitionsgemäß Eins.

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