Stetigkeitsnachweis im R^2

29.08.2013, 16:41

Mathelover

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Stetigkeitsnachweis im R^2

Hallo Freunde,

habe hier eine Aufgabe, bei der ich die Stetigkeit im $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ nachweißen soll.

$\begin{eqnarray*} f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2,(x,y)\to\begin{cases}<br /> \left ( (x^2+y^2)log(x^2+y^2) , \frac{sin(x)y^{2}}{x^2+y^2} \right )\text{ falls } (x,y)\neq (0,0)<br /> \\ <br /> (0,0)\text{ falls } (x,y)= (0,0)<br /> \end{cases} \end{eqnarray*}$

Zeigen Sie, dass f stetig ist.

Meine Idee:

Ich schreibe zunächst einmal die Funktion in Polarkoordinaten auf, dann überprüfe ich ob die Funktion an der Stelle (0,0) stetig sind?

Bin ich mit der Idee richtig?

29.08.2013, 16:48

Che Netzer

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RE: Stetigkeitsnachweis im R^2
Polarkoordinaten kannst du benutzen. Halte ich aber nicht für nötig. Beachte lieber, dass $\begin{eqnarray*} x^2+y^2\to0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} (x,y)\to0 \end{eqnarray*}$ .

Einen kleinen Satz solltest du auch zur Stetigkeit außerhalb des Nullpunktes verlieren.

29.08.2013, 16:50

Mathelover

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RE: Stetigkeitsnachweis im R^2

Zitat:

Original von Che Netzer
Polarkoordinaten kannst du benutzen. Halte ich aber nicht für nötig. Beachte lieber, dass $\begin{eqnarray*} x^2+y^2\to0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} (x,y)\to0 \end{eqnarray*}$ .

Einen kleinen Satz solltest du auch zur Stetigkeit außerhalb des Nullpunktes verlieren.

Für $\begin{eqnarray*} (x,y)\neq (0,0) \end{eqnarray*}$ .ist die Funktion stetig, da sie aus einer Zusammensetzung stetiger Funktion besteht?

Wie kommst du auf $\begin{eqnarray*} x^2+y^2\to0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} (x,y)\to0 \end{eqnarray*}$ ?

29.08.2013, 16:53

Che Netzer

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RE: Stetigkeitsnachweis im R^2

Zitat:

Original von Mathelover
Für $\begin{eqnarray*} (x,y)\neq (0,0) \end{eqnarray*}$ .ist die Funktion stetig, da sie aus einer Zusammensetzung stetiger Funktion besteht?

Genau.

Zitat:

Wie kommst du auf $\begin{eqnarray*} x^2+y^2\to0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} (x,y)\to0 \end{eqnarray*}$ ?

Du könntest $\begin{eqnarray*} (x,y)\to0 \end{eqnarray*}$ z.B. durch $\begin{eqnarray*} \lVert(x,y)\rVert_2\to0 \end{eqnarray*}$ ausdrücken. Das ist äquivalent zu $\begin{eqnarray*} \lVert(x,y)\rVert_2^2\to0 \end{eqnarray*}$ und genau das bedeutet $\begin{eqnarray*} x^2+y^2\to0 \end{eqnarray*}$ .

Oder du folgerst das einfach aus $\begin{eqnarray*} x\to0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y\to0 \end{eqnarray*}$ .

29.08.2013, 17:03

Mathelover

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RE: Stetigkeitsnachweis im R^2

Zitat:

Original von Che Netzer

Oder du folgerst das einfach aus $\begin{eqnarray*} x\to0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y\to0 \end{eqnarray*}$ .

Okay danke, das gefällt mir Big Laugh

Big Laugh

Aber was folgt daraus jetzt?

Dann könnt ich ja direkt sagen:

$\begin{eqnarray*} <br /> (x^2+y^2)log(x^2+y^2)\to 0 , \frac{sin(x)y^{2}}{x^2+y^2} \to 0 \end{eqnarray*}$

Und wäre damit fertig?

29.08.2013, 17:04

Che Netzer

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RE: Stetigkeitsnachweis im R^2
Wenn du das auch begründen kannst.

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29.08.2013, 17:10

Mathelover

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RE: Stetigkeitsnachweis im R^2
Wie begründet man das den am geschicktesten?

Ich könnte ja sagen: sei $\begin{eqnarray*} t_n = x_n^2+y_n^2 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} t_n \to 0 \end{eqnarray*}$ , wenn

$\begin{eqnarray*} n\to \infty \end{eqnarray*}$

Dann gilt:

$\begin{eqnarray*} <br /> t_n*log(t_n) \to 0 (n\to \infty) \end{eqnarray*}$

So vielleicht?

29.08.2013, 17:11

Che Netzer

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RE: Stetigkeitsnachweis im R^2
Wieso denn jetzt gegen Unendlich? geschockt

geschockt

29.08.2013, 17:12

Mathelover

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RE: Stetigkeitsnachweis im R^2
Tippfehler, sorry. Aber wäre das so möglich?

29.08.2013, 17:13

Che Netzer

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RE: Stetigkeitsnachweis im R^2
Ja, wenn ihr $\begin{eqnarray*} \lim_{t\to0}t\ln t=0 \end{eqnarray*}$ benutzen dürft.

29.08.2013, 17:13

Mathelover

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RE: Stetigkeitsnachweis im R^2
Jop dürfen wir smile

smile

29.08.2013, 17:15

Che Netzer

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RE: Stetigkeitsnachweis im R^2
Gut, dann brauchst du dich nur noch um die Stetigkeit der zweiten Komponente im Nullpunkt zu kümmern.

29.08.2013, 17:16

Mathelover

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RE: Stetigkeitsnachweis im R^2
Da kann ich ja damit argumentieren, dass sin eine stetige Funktion ist und nach sin abschätzen und dann für große n die 0 folgern?

29.08.2013, 17:17

Che Netzer

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RE: Stetigkeitsnachweis im R^2
Dem kann ich keinerlei Sinn entnehmen verwirrt

verwirrt

Drück dich doch etwas genauer aus.

29.08.2013, 17:20

Mathelover

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RE: Stetigkeitsnachweis im R^2
$\begin{eqnarray*} |sin(x_n)|*\frac{y^2_n}{x^2_n+y^2_n}\leq|sin(x_n)|\to|sin(0)|=0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n \to \infty \end{eqnarray*}$

da sin stetig ist?

29.08.2013, 17:23

Che Netzer

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RE: Stetigkeitsnachweis im R^2
Das sieht schon besser aus; bis auf den Tippfehler im Index.

29.08.2013, 17:29

Mathelover

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RE: Stetigkeitsnachweis im R^2
Okay, super danke Che smile

smile

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