Partielle Integration, Differenziation : Reihenfolge immer vertauschbar?

29.08.2013, 18:20

laienstefan

Partielle Integration, Differenziation : Reihenfolge immer vertauschbar?

Hallo,

es geht um Integrale Parametern, im folgenden Beispiel x und y. Hier erstmal der Term:
[attach]31322[/attach]

Gesucht ist die Ableitung von f(x)
Zuerst habe ich die Klammern aufgelöst, dann steht im Integral

$\begin{eqnarray*} 2x^4 y - x^3 y^2 - x^3 +y^2 + 1 \end{eqnarray*}$

Im ersten Ansatz habe ich zuerst integriert, erhielt dann auch das Ergebnis aus der Musterlösung:
[attach]31323[/attach]

Wenn ich allerdings zuerst nach x ableite, erhalte ich:
f'(x) = $\begin{eqnarray*} \int_0^{x^2} \! 2y-3x^2 - 8x^3y - 3x^2y^2 \, dy = -x^8 +4x^7-4x^4 \end{eqnarray*}$

Soweit ich weiß, müsste ich die Reihenfolge ja vertauschen können, aber das führt mich ganz offensichtlich zuumfalschen Ergebnis. Habbe ich das einfach falsch angenommen oder habe ich Rechenfehler drin?

LG

PS: Sorry, bei dem vielen Rechnen heute bin ich etwas durcheinander, also bitte entschuldigt die unterschiedlichen Reihenfolgen der Terme

29.08.2013, 20:32

HAL 9000

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Zitat:

Original von laienstefan
Wenn ich allerdings zuerst nach x ableite, erhalte ich:
f'(x) = $\begin{eqnarray*} \int_0^{x^2} \! 2y-3x^2 - 8x^3y - 3x^2y^2 \, dy = -x^8 +4x^7-4x^4 \end{eqnarray*}$

Allem Anschein hast du nur den Integranden nach $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ abgeleitet, aber nicht berücksichtigt, dass auch die obere Integralgrenze von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ abhängt!!!

29.08.2013, 21:07

laienstefan

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Ich sehe gerade, ich habe oben einen Schreibfehler drin, nämlich beim Klammern auflösen.
Also Vorgehensweise 2 nochmal von vorne:
$\begin{eqnarray*} f(x) = \int_0^{x^2} \! (2x^4y-x^3y^2 - x^3 - 2xy + y^2 + 1) \, dy \end{eqnarray*}$

jetzt den Integranden und die Integrationsgrenzen nach x ableiten:
$\begin{eqnarray*} f'(x) = \int_0^{2x} \! (8x^3y-3x^2y^2 - 3x^2 - 2y) \, dy \end{eqnarray*}$

jetzt nach y integrieren:

$\begin{eqnarray*} f'(x) = [4x^3y^2 - x^2y^3 - 3x^2y - y^2]_0^{2x} \end{eqnarray*}$

Einsetzen ergibt:

$\begin{eqnarray*} f'(x) = 16x^5 - 8x^5 - 6x^3 - 4x^2 = 8x^5-6x^3 - 4x^2 \end{eqnarray*}$

Also nicht mal nahe dran am Ergebnis unglücklich

((

29.08.2013, 21:10

HAL 9000

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Ich habe damit NICHT gemeint, dass du einfach die Integralgrenze nach $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ableitest! Finger1

Betrachten wir in allgemeineren Kontext ein solches Integral mit variabler unterer und oberer Grenze

$\begin{eqnarray*} f(x) = \int\limits_{a(x)}^{b(x)} g(x,y) ~ \dd y \end{eqnarray*}$ .

Nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung gilt dann $\begin{eqnarray*} f(x) = G(x,b(x))-G(x,a(x)) \end{eqnarray*}$ , dabei ist $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ die Stammfunktion von $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ nach der zweiten Variable, d.h. es gilt für die partielle Ableitung nach dieser zweiten Variablen $\begin{eqnarray*} G_y = g \end{eqnarray*}$ .

Nun leiten wir $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ab:

$\begin{eqnarray*} f'(x) = \frac{\dd}{\dd x} [G(x,b(x))-G(x,a(x))] = G_x(x,b(x)) + G_y(x,b(x))b'(x) - G_x(x,a(x)) - G_y(x,a(x))a'(x) = \int\limits_{a(x)}^{b(x)} g_x(x,y) ~ \dd y ~+~ g(x,b(x))b'(x) - g(x,a(x))a'(x) \end{eqnarray*}$

Bei dir ist $\begin{eqnarray*} a(x)=0,b(x)=x^2 \end{eqnarray*}$ , es folgt für $\begin{eqnarray*} f(x) = \int\limits_0^{x^2} g(x,y) ~ \dd y \end{eqnarray*}$ dann

$\begin{eqnarray*} f'(x) = \int\limits_0^{x^2} g_x(x,y) ~ \dd y {\color{red} ~+~ g(x,x^2)\cdot 2x} \end{eqnarray*}$ .

Diesen letzten Summanden hast du vergessen: $\begin{eqnarray*} g(x,x^2)\cdot 2x = 2x(1-x^3)(1-2x^3+x^4) = - 2x^8 + 4x^7 + 2x^5 - 6x^4 + 2x \end{eqnarray*}$

D.h., diesen Term zu dem hier

Zitat:

Original von laienstefan
Wenn ich allerdings zuerst nach x ableite, erhalte ich:
f'(x) = $\begin{eqnarray*} \int_0^{x^2} \! 2y-3x^2 - 8x^3y - 3x^2y^2 \, dy = -x^8 +4x^7-4x^4 \end{eqnarray*}$

addiert, ergibt dann

$\begin{eqnarray*} (-x^8 +4x^7-4x^4) + (-2x^8 + 4x^7 + 2x^5 - 6x^4 + 2x) = -3x^8 + 8x^7 + 2x^5 - 10x^4 + 2x \end{eqnarray*}$ ,

also genau das Ergebnis aus deiner ersten, richtigen Rechnung. Und die Welt ist wieder in Ordnung. Augenzwinkern

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