multi valued analytic function

29.08.2013, 21:40

12345678

multi valued analytic function

Meine Frage:
Hallo! Was ist unter einer "multi valued analytic function" zu verstehen?

Meine Ideen:
Multi valued bedeutet ja, dass einem Wert im Urbildraum mehrere im Bildraum zugeordnet werden können? Deswegen ist es ja keine Funktion im eigentlichen Sinn mehr, oder? Und falls das soweit stimmt, wie wäre dann bei so einer "Funktion" analytisch definiert, bzw. wie wäre eine Ableitung definiert?

29.08.2013, 21:59

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: multi valued analytic function
Vermutlich wäre deine Frage am besten mit einem Beispiel beantwortet: Die Wurzelfunktion oder der Logarithmus auf $\begin{eqnarray*} \mathbb C\setminus\{0\} \end{eqnarray*}$ .

Solche Funktionen sind auf jedem einfach zusammenhängenden Gebiet analytisch, wenn man sich auf einen Zweig festlegt. Man kann zu einem anderen Zweig "springen", indem man einen geschlossenen Weg entlanggeht, der nicht zu einem Punkt zusamengezogen werden kann (hier eine Kurve um Null).
Derartige Funktionen kannst du auch als analytisch auf der universellen Überlagerung ansehen.

29.08.2013, 22:11

12345678

Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, danke!
Das heißt man definiert sich "Zweige" einer Funktion, in dem man da wo vom Definitionsbereich aus nicht eindeutig abgebildet wird, quasi verschiedene Funktionen draus macht?

Hm aber wie man auf diese Zweige kommt, ist das offensichtlich bzw. gibts ein Schema?
Beim Logarithmus schränkt man ja dann das Ergebnis ein, sagt also der Logarithmus von irgendwas muss immer
zwischen $\begin{eqnarray*} - \pi \text{und} \pi \end{eqnarray*}$ liegen und erreicht so Eindeutigkeit.

29.08.2013, 22:15

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von 12345678
Hm aber wie man auf diese Zweige kommt, ist das offensichtlich bzw. gibts ein Schema?

Was meinst du damit?
Woher die verschiedenen Zweige kommen? Oder wie man sich auf einen festlegt?

29.08.2013, 22:25

12345678

Auf diesen Beitrag antworten »

Woher sie kommen meinte ich.
Also ich sitze gerade vor einem Beispiel und glaube es gerade halbwegs verstanden zu haben, bin mir aber nicht sicher: Und zwar habe ich eine auf der oberen Halbebene analytische Funktion f, deren Bild das Innere eines Polygons ist. Und die Urbilder der Ecken heißen $\begin{eqnarray*} z_k \end{eqnarray*}$ . Jetzt kann ich nach dem Schwarzschen Spiegelungsprinzip
an bspw. der Verbindungsstrecke $\begin{eqnarray*} z_k, z_{k+1} \end{eqnarray*}$ spiegeln, wodurch ich den Definitionsbereich meiner Abbildung auf die untere Halbebene fortsetze. Dadurch wird das Bild an der entsprechenden Bildstrecke $\begin{eqnarray*} f(z_k,z_{k+1}) \end{eqnarray*}$ gespiegelt. Die neue Funktion ist also insbesondere auf der unteren Halbebene definiert.
Jetzt kann ich analog wieder spiegeln, und zwar diesmal so, dass sich das Bild des neuen Polynoms an einer seiner Achsen spiegelt, wodurch ich die Funktion von der unteren Halbebene wieder auf die obere Halbebene fortgesetzt habe. Dies gibt mir jetzt eine neue, im Allgemeinen von der alten verschiedenen Funktion, die auf der oberen Halbebene definiert ist. Nennt man so eine Funktion jetzt einen Zweig zu f?
Hoffe ich bin nicht zu sehr abgeschweift vom eigentlichen Thema.

29.08.2013, 22:31

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von 12345678
Woher sie kommen meinte ich.

Auf ganz natürliche Weise, wenn man einmal auf einem Kreis um Null läuft. Der Logarithmus verändert sich dabei z.B. um $\begin{eqnarray*} \pm2\pi\mathrm i \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Nennt man so eine Funktion jetzt einen Zweig zu f?

Naja, $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ selbst ist eine eindeutige, wohldefinierte Funktion. Ich würde eher $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ einen Zweig der nach deiner Beschreibung erhaltenen (mehrwertigen) Funktion nennen.

29.08.2013, 22:33

12345678

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke!

01.09.2013, 14:34

12345678

Auf diesen Beitrag antworten »

Hm hab nochmal über das Beispiel mit dem Logarithmus nachgedacht und bin mir doch nicht sicher ob ichs schon verstanden habe.
Den Logarithmus betrachtet man ja häufig auf dem einfach zusammenhängenden Gebiet
$\begin{eqnarray*} \{ z \in \mathbb C \mid z \notin \mathbb R^-, z \neq 0 \} \end{eqnarray*}$ .
Und auf dieser Menge kann man sich nun Zweige definieren, die alle die Form
$\begin{eqnarray*} f + 2 \pi i \end{eqnarray*}$ haben, da $\begin{eqnarray*} e^{f+ 2 \pi i} = e^f \end{eqnarray*}$ .
Was ich noch nicht ganz verstehe: Was meinst du mit: Wenn man einmal in einem Kreis um 0 läuft, verändert sich der Logarithmus bspw. um $\begin{eqnarray*} \pm 2 \pi i \end{eqnarray*}$ ? Also was ist mit diesem um die 0 laufen gemeint?
Und in diesem Zusammenhang hab ich im Englischen die Ausdrücke branch cut und branch point gefunden, aber keine exakte Definition, die ich verstanden habe. Wäre im obigen beispiel $\begin{eqnarray*} (-\infty, 0] \end{eqnarray*}$
ein branch cut? Wie könnte man den Ausdruck denn am treffensten übersetzen?

01.09.2013, 14:50

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von 12345678
Was ich noch nicht ganz verstehe: Was meinst du mit: Wenn man einmal in einem Kreis um 0 läuft, verändert sich der Logarithmus bspw. um $\begin{eqnarray*} \pm 2 \pi i \end{eqnarray*}$ ? Also was ist mit diesem um die 0 laufen gemeint?

Starte mal im Punkt Eins, dem du den Logarithmus Null zuweist.
Wenn du jetzt gegen den Uhrzeigersinn auf dem Einheitskreis zu $\begin{eqnarray*} \mathrm i \end{eqnarray*}$ läufst, dann verändert sich der Logarithmus auf diesem Weg und du landest bei $\begin{eqnarray*} \frac\pi2\mathrm i \end{eqnarray*}$ (um so viel vergrößert sich ja das Argument).
Wenn du weiter zur $\begin{eqnarray*} -1 \end{eqnarray*}$ läufst, bist du bei $\begin{eqnarray*} \pi\mathrm i \end{eqnarray*}$ ... Gehst du den Kreis zuende, bist du wieder an der Stelle Eins, dein Logarithmus hat aber den Zweig gewechselt und ist bei $\begin{eqnarray*} 2\pi\mathrm i \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Und in diesem Zusammenhang hab ich im Englischen die Ausdrücke branch cut und branch point gefunden, aber keine exakte Definition, die ich verstanden habe. Wäre im obigen beispiel $\begin{eqnarray*} (-\infty, 0] \end{eqnarray*}$
ein branch cut? Wie könnte man den Ausdruck denn am treffensten übersetzen?

Ein "branch point" ist ein Verzweigungspunkt. Einen "branch cut" würde ich wohl als Verzweigungsschnitt übersetzen. Die Definitionen stehen doch aber auf Wikipedia.
Ein Verzweigungsschnitt (?) für den Logarithmus wäre jede einfache Kurve von Null bis Unendlich.
Man darf halt keine geschlossene Kurve um Null legen können, die diese Kurve nicht schneidet.

01.09.2013, 15:10

12345678

Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, ich glaube jetzt hab ich das verstanden:
Wenn ich eine Runde um die 0 gemacht habe, dann komme ich an der gleichen Stelle an, aber der Funktionswert ist ein anderer.
Will ich Eindeutigkeit, so "versperre ich den Durchgang" durch eine Linie von 0 bis unendlich (betragsmäßig).
An dieser Grenze kann der Logarithmus quasi nicht weiter steigen / bzw. fallen auf einem Kreis um den Ursprung der da ja unterbrochen ist, folglich nicht immer zunehmen.
Auf einem Gebiet mit diesem branch cut gibt es aber immer noch unendlich viele Möglichkeiten den Logarithmus
zu definieren, hat man sich aber auf einen Zweig festgelegt, so verändert er sich nichtmehr.
Stimmt das so in etwa?
Die Definitionen bei Wikipedia hatte ich gefunden, aber hab sie ehrlichgesagt nicht wirklich verstanden gehabt, bzw. nur grob.

01.09.2013, 15:18

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von 12345678
Auf einem Gebiet mit diesem branch cut gibt es aber immer noch unendlich viele Möglichkeiten den Logarithmus
zu definieren, hat man sich aber auf einen Zweig festgelegt, so verändert er sich nichtmehr.

Wenn man eine Kurve von Null bis Unendlich entfernt, muss man immer noch einen Zweig auswählen, ja. (wenn du das meinst)

Zitat:

Die Definitionen bei Wikipedia hatte ich gefunden, aber hab sie ehrlichgesagt nicht wirklich verstanden gehabt, bzw. nur grob.

Und ist jetzt alles klar?

01.09.2013, 15:34

12345678

Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, danke, ja glaub jetzt ist mir das klar.
Also zumindest das Prinzip und das Beispiel mit dem Logarithmus.
Bei der komplexen Wurzel bin ich mir noch unsicher:
Wenn ich bspw. wie bei Wikipedia im Beispiel mir einen Kreis mit Radius 4, der im Gegenuhrzeigersinn durchlaufen wird, beginnend bei 4, vorstelle, und ich betrachte dafür immer die komplexe Wurzel, ist dann am Anfang die Wurzel von 4 = 2 oder = -2 oder muss ich das festlegen? Also beim Logarithmus ist mir irgendwie jetzt klar, wieso bei einer Drehung $\begin{eqnarray*} 2 \pi i \end{eqnarray*}$ dazukommt, aber bei der Wurzel ist mir nicht klar, wie eine Drehung den Wert verändert.
Also eine Wurzel bekomme ich ja immer, indem ich aus der Länge die reelle Wurzel ziehe und den Winkel halbiere, aber das sind ja nicht alle Lösungen.

01.09.2013, 15:42

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von 12345678
ist dann am Anfang die Wurzel von 4 = 2 oder = -2 oder muss ich das festlegen?

Darauf musst du dich festlegen.

Zitat:

Also eine Wurzel bekomme ich ja immer, indem ich aus der Länge die reelle Wurzel ziehe und den Winkel halbiere, aber das sind ja nicht alle Lösungen.

Aber welchen Winkel?
Wenn du an der Stelle Vier mit Wert $\begin{eqnarray*} 2=2\mathrm e^0 \end{eqnarray*}$ startest und gegen den Uhrzeigersinn läufst, landest du bei $\begin{eqnarray*} 4\mathrm i \end{eqnarray*}$ beim Wert $\begin{eqnarray*} 2\frac{1+\mathrm i}{\sqrt2}=2\mathrm e^{\frac12\frac\pi2\mathrm i} \end{eqnarray*}$ . Bei $\begin{eqnarray*} -4 \end{eqnarray*}$ hast du den Wert $\begin{eqnarray*} 2\mathrm i=2\mathrm e^{\frac12\pi\mathrm i} \end{eqnarray*}$ . Wenn du wieder bei der Vier angekommen bist, hast du den Wert $\begin{eqnarray*} -2 \end{eqnarray*}$ erreicht. Ein weiterer Umlauf würde dich wieder auf den ursprünglichen Wert zurückbefördern.

Wenn du die Wurzel also auf einer Riemannschen Fläche definieren möchtest, hätte diese die Fundamentalgruppe $\begin{eqnarray*} \mathbb Z/2\mathbb Z \end{eqnarray*}$ .

Edit: Hier habe ich noch ein Bild dazu gefunden, das vielleicht hilft.

01.09.2013, 15:52

12345678

Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, wie sich die Wurzel bei einer Drehung verändert ist mir jetzt klar.
Das heißt bei der Wurzel habe ich ein etwas anderes Problem als beim Logarithmus:
Wenn ich beim Logarithmus immer im Kreis laufe, bekomme ich jede Runde einen neuen Zweig,
bei der Quadrat-Wurzel gibt es zwei verschiedene Zweige, die sich immer abwechseln jede Runde?

01.09.2013, 15:56

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, genau.
Für den Logarithmus kennst du sicher dieses Bild mit der Spirale. Da kann man beliebig weit hoch oder runter gehen.
Die Fundamentalgruppe der entsprechenden Fläche ist $\begin{eqnarray*} \mathbb Z \end{eqnarray*}$ .

01.09.2013, 15:59

12345678

Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, danke!
Was ist denn eine Fundamentalgruppe?

01.09.2013, 16:05

12345678

Auf diesen Beitrag antworten »

ach so, habs gefunden, dass sind quasi die Äquivalenzklassen der Schleifen, die homotop zueineander sind oder?
Sprich auf der "Logarithmus-Spirale" kann man unendlich verschiedene solcher Äquivalenzklassen finden?

01.09.2013, 16:05

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

Ach so...
Da verweise ich erstmal auf Wikipedia. Das durchzugehen würde jetzt aber etwas länger dauern. Wenn du darüber mehr wissen möchtest, stell deine Fragen in einem neuen Thread.

Edit: Ja, das, was du da beschreibst, hört sich gut an.
Wie gesagt können mehrwertige holomorphe Funktionen ja auch auf der universellen Überlagerung definiert werden, wo sie dann "einwertig" sind.

01.09.2013, 16:13

12345678

Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, danke, werd ich mir anschauen!

17.09.2013, 09:41

12345678

Auf diesen Beitrag antworten »

Hab noch eine Frage hierzu: Wollt erst n neuen Thread aufmachen, aber glaub hier passts eigentlich thematisch noch rein:

Ich habe ja geschrieben

Zitat:

Und zwar habe ich eine auf der oberen Halbebene analytische Funktion f, deren Bild das Innere eines Polygons ist. Und die Urbilder der Ecken heißen $\begin{eqnarray*} z_k \end{eqnarray*}$ . Jetzt kann ich nach dem Schwarzschen Spiegelungsprinzip
an bspw. der Verbindungsstrecke $\begin{eqnarray*} z_k, z_{k+1} \end{eqnarray*}$ spiegeln, wodurch ich den Definitionsbereich meiner Abbildung auf die untere Halbebene fortsetze. Dadurch wird das Bild an der entsprechenden Bildstrecke $\begin{eqnarray*} f(z_k,z_{k+1}) \end{eqnarray*}$ gespiegelt. Die neue Funktion ist also insbesondere auf der unteren Halbebene definiert.

Dies liefert mir aber keine ganze Funktion oder?

17.09.2013, 10:09

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, das Resultat wäre nur auf dem Teil der reellen Achse definiert, an deren Bild du spiegelst. Auf dem Rest der reellen Achse wäre das Ergebnis unstetig. (hatten wir so ähnlich mit der Wurzelfunktion in einem anderen Thema).

17.09.2013, 10:26

12345678

Auf diesen Beitrag antworten »

Ahh verstehe, stimmt, stand auf dem Schlauch, danke! in diesem Fall wären dann die Teile der reellen Achse, an denen ich nicht spiegele meine "branch cuts"

17.09.2013, 11:03

12345678

Auf diesen Beitrag antworten »

Hab nochmal drüber nachgedacht und verstehe dann diese Funktion nicht mehr:

Zitat:

Jetzt kann ich analog wieder spiegeln, und zwar diesmal so, dass sich das Bild des neuen Polygons an einer seiner Achsen spiegelt, wodurch ich die Funktion von der unteren Halbebene wieder auf die obere Halbebene fortgesetzt habe. Dies gibt mir jetzt eine neue, im Allgemeinen von der alten verschiedenen Funktion, die auf der oberen Halbebene definiert ist.

Wie kann ich denn wieder analog spiegeln, an einem anderen Teil der reellen Achse?
Da ist meine Funktion ja nichtmal mehr definiert.
Wie ichs mir erklären könnte: Ich betrachte zunächst die Funktion nur noch auf der unteren Halbebene und dem
Stück der reellen Achse, an dem ich zuerst gespiegelt habe. Wegen dem Osgood-Carathéodory-Theorem kann ich diese gespiegelte Abbildung nun fortsetzen auf die reelle Achse und dann zurückspiegeln.
Aber ist mir unklar ob das klappt.

Neue Frage »

Antworten »

multi valued analytic function

Verwandte Themen