Beweis Differentation im R^2

29.08.2013, 22:20

Mathelover

Beweis Differentation im R^2

Hallo Freunde,

die a) habe ich gelöst, ich verstehe aber Teil b) nicht, also ich verstehe den Beweis nicht. Auf $\begin{eqnarray*} gradf(0,0) \end{eqnarray*}$ komme ich auch, aber den Beweis in der Musterlösung verstehe ich überhaupt nicht. Was soll dieses $\begin{eqnarray*} ||h|| \end{eqnarray*}$

Die funktion lautet:

$\begin{eqnarray*} f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R},(x,y)\to\begin{cases}<br /> (x^2-y^2)*cos(\frac{1}{x^2+y^2}) \text{ falls } (x,y)\neq (0,0)<br /> \\ <br /> (0,0)\text{ falls } (x,y)= (0,0)<br /> \end{cases} \end{eqnarray*}$

29.08.2013, 22:23

Che Netzer

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RE: Beweis Differentation im R^2
Da wird nur die Definition der Differenzierbarkeit verwendet. In der stand vielleicht $\begin{eqnarray*} f'(0) \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} \operatorname{grad}f(0,0) \end{eqnarray*}$ oder so, aber das ist hier dasselbe.

29.08.2013, 22:28

Mathelover

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RE: Beweis Differentation im R^2
Etwa das hier?

$\begin{eqnarray*} \lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{f(x,y)-f(0,0)-f_x(0,0)-f_y(0,0)}{|(x,y)|} = 0 \end{eqnarray*}$

29.08.2013, 22:33

Che Netzer

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RE: Beweis Differentation im R^2

Zitat:

Original von Mathelover
$\begin{eqnarray*} \lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{f(x,y)-f(0,0)-f_x(0,0){\color{red}x}-f_y(0,0){\color{red}y}}{|(x,y)|} = 0 \end{eqnarray*}$

Hier hast du einfach $\begin{eqnarray*} (x,y)=h \end{eqnarray*}$ .

29.08.2013, 22:43

Mathelover

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RE: Beweis Differentation im R^2
Okay danke, aber warum verwenden die hier diese Definition?

Das ist nämlich die Definition für die totale Differentation. Es wurde aber nur nach der Differentation im Punkt $\begin{eqnarray*} (0,0) \end{eqnarray*}$ gefragt. Es kann ja nämlich durchaus sein, dass die Funktion im Punkt $\begin{eqnarray*} (0,0) \end{eqnarray*}$ differenzierbar ist, aber nicht total differenzierbar ist.

Naja egal, was mich noch unsicher macht ist das $\begin{eqnarray*} ||h|| \end{eqnarray*}$ . Was ist der Unterschied zwischen $\begin{eqnarray*} ||h|| \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} |h| \end{eqnarray*}$ ? Da fällt mir der Begriff Norm ein, aber irgendwie kann ich damit nichts großartig anfangen.

29.08.2013, 22:48

Che Netzer

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RE: Beweis Differentation im R^2

Zitat:

Original von Mathelover
Das ist nämlich die Definition für die totale Differentation.

Und wie lautet eure Definition für Differenzierbarkeit?

Zitat:

Was ist der Unterschied zwischen $\begin{eqnarray*} ||h|| \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} |h| \end{eqnarray*}$ ?

Die Notation. Einfache Striche benutzt ma für den Betrag (von Skalaren); für Normen (von Vektoren) eher doppelte Striche. Für die euklidische Norm kann man aber auch gerne mal einfache Striche benutzen.

29.08.2013, 22:54

Mathelover

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RE: Beweis Differentation im R^2

Zitat:

Original von Che Netzer

Und wie lautet eure Definition für Differenzierbarkeit?

Ich glaube, ich habe partiell differenzierbar mit (total) differenzierbar verwechselst :p

29.08.2013, 22:58

Mathelover

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RE: Beweis Differentation im R^2

Zitat:

Original von Che Netzer

Die Notation. Einfache Striche benutzt ma für den Betrag (von Skalaren); für Normen (von Vektoren) eher doppelte Striche. Für die euklidische Norm kann man aber auch gerne mal einfache Striche benutzen.

Das heißt also es hat die selbe Funktion wie der Betrag, nur dass man eben bei Vektoren zwei Betragsstriche verwendet?

29.08.2013, 23:09

Che Netzer

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RE: Beweis Differentation im R^2
Naja, "dieselbe Funktion" insofern, als eine Norm einer Verallgemeinerung des Betrags ist.

29.08.2013, 23:12

Mathelover

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RE: Beweis Differentation im R^2
Zumindest ist es bei dem Beweis so:

$\begin{eqnarray*} || h_1^2-h_2^2|| \end{eqnarray*}$ wird ja dann abgeschätzt zu $\begin{eqnarray*} 2||h||^2 \end{eqnarray*}$ obwohl da ein Minus ist.

29.08.2013, 23:17

Che Netzer

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RE: Beweis Differentation im R^2
Da hast du im ersten Ausdruck jeweils einen Strich zu viel. Der zweite Strich aus der Musterlösung sollte wohl eigentlich zum Betrag des Cosinus werden.
Es ist nach der Dreiecksungleichung $\begin{eqnarray*} \lvert h_1^2-h_2^2\rvert\leq h_1^2+h_2^2=\lVert h\rVert^2 \end{eqnarray*}$ . Was die Zwei davor zu suchen hat, ist ein Mysterium.

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