Wahrscheinlichkeit bei 2 Normalverteilungen

30.08.2013, 11:42

Dwee

Wahrscheinlichkeit bei 2 Normalverteilungen

Hallo,

sicher wurde folgende Frage schon mal im inet oder hier gestellt, konnte aber trotz einiger Suche nichts finden, deshalb riskier ichs sie nochmal zu stellen. Folgendes Problem:

Ich habe 2 Maschinen, die von einander unabhängig Schrauben mit normalverteiltem Durchmesser mit mu1 < mu2 und sigma1, sigma2 herstellen (für dieses Bsp. überdecken sich beide Normalverteilungen in einem sinnvollen Anteil). Nun lassen wir von jeder Maschine eine Schraube herstellen. Wie hoch ist dann die Wahrscheinlichkeit, dass Maschine 2 eine dickere Schraube herstellt hat als Maschine 1?

Vielen Dank für Hilfe!

Schöne Grüße,
Martin

30.08.2013, 16:09

HAL 9000

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Es seien $\begin{eqnarray*} X_1\sim\mathcal{N}(\mu_1,\sigma_1^2) \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} X_2\sim\mathcal{N}(\mu_2,\sigma_2^2) \end{eqnarray*}$ die zufälligen Durchmesser der Schrauben 1 und 2. Du suchst nun die Wahrscheinlichkeit

$\begin{eqnarray*} P(X_1 < X_2) = P(X_1-X_2 < 0) \end{eqnarray*}$ .

Betrachte dazu einfach die Differenz $\begin{eqnarray*} D = X_1-X_2 = X_1 + (-1)\cdot X_2 \end{eqnarray*}$ , die ist dann nämlich auch normalverteilt, nämlich

$\begin{eqnarray*} D\sim \mathcal{N}(\mu_1+(-1)\mu_2,\sigma_1^2 + (-1)^2\sigma_2^2) = \mathcal{N}(\mu_1-\mu_2,\sigma_1^2 + \sigma_2^2) \end{eqnarray*}$ .

Damit lässt sich das gesuchte $\begin{eqnarray*} P(D < 0) \end{eqnarray*}$ leicht berechnen.

31.08.2013, 11:52

Dwee

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Danke!
Hallo HAL_9000,

vielen Dank für die schnelle Antwort! D.h. die Lösung ist die Standardnormalvert., ausgewertet an der Stelle $\begin{eqnarray*} \frac{\mu_{2}-\mu_{1}}{\sqrt{\sigma_{1}^{2}+\sigma_{2}^{2} } } \end{eqnarray*}$ .

Dachte mir dass die Lösung sehr naheliegend sein muss, aber bin leider nicht selbst auf Differenzbildung gekommen. Das Rechnen mit Zufallsvariablen ist noch etwas ungewohnt...

Schöne Grüße, Martin

31.08.2013, 12:57

HAL 9000

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Zitat:

Original von Dwee
die Lösung ist die Standardnormalvert., ausgewertet an der Stelle $\begin{eqnarray*} \frac{\mu_{2}-\mu_{1}}{\sqrt{\sigma_{1}^{2}+\sigma_{2}^{2} } } \end{eqnarray*}$ .

Ja genau, $\begin{eqnarray*} \Phi\left( \frac{\mu_2-\mu_1}{\sqrt{\sigma_1^{2}+\sigma_2^2}} \right) \end{eqnarray*}$ . Freude

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