Betrag entfernen, wieso?

30.08.2013, 13:13	MMLP	Auf diesen Beitrag antworten »
Betrag entfernen, wieso? Hallo zusammen, im Rahmen einer DGL habe ich in meinem Übungsbuch folgende Gleichung nach u aufzulösen: $\begin{eqnarray} \|1-e^{-u}\| = e^{\frac{x}{2} + C} \end{eqnarray}$ In der Übung steht, dass man nun den Betrag einfach weglassen könnte mit der Gefahr, dass die Lösung nicht auf ganz D korrekt ist. Oder dass man clever umformen kann, um die Betragsstriche wegzulassen. Daraufhin wurde folgender Schritt durchgeführt, den ich allerdings nicht verstehe: $\begin{eqnarray} 1-e^{-u} = e^{C} \cdot e^{\frac{x}{2} } \end{eqnarray}$ Der Begriff $\begin{eqnarray} e^{C} \end{eqnarray}$ wird dabei zur neuen Konstante C Schlange. Kann mir jemand erklären, wieso man durch das herausziehen der Konstante gewährleistet hat, dass der Betrag auf der anderen Seite immer positiv zu sein scheint? Ich erkenne da den Zusammenhang nicht. Gruß MLLP
30.08.2013, 13:35	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Betrag entfernen, wieso? Man kann auch ganz simpel eine Fallunterscheidung durchführen. Für $\begin{eqnarray} u \geq 0 \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} e^{-u} \leq 1 \end{eqnarray}$ und damit $\begin{eqnarray} 1-e^{-u} \geq 0 \end{eqnarray}$ , also nicht negativ. Für $\begin{eqnarray} u<0 \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} e^{-u}>1 \end{eqnarray}$ und es ist $\begin{eqnarray} \|1-e^{-u}\|=e^{-u}-1 \end{eqnarray}$ . Auf der rechten Seite wurden "nur" die Potenzgesetze angewendet. Diese Seite (also die rechte) ist als Exponentialfunktion stets positiv, weshalb eigentlich nur der erste Fall eintreten kann.
30.08.2013, 16:04	Cevas	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Betrag entfernen, wieso? Ich sehe in dieser Lösung folgendes: $\begin{eqnarray} \|1-e^{-u}\| = e^{\frac{x}{2} + C} \end{eqnarray}$ ist gleich bedeutend mit $\begin{eqnarray} 1-e^{-u} = \pm e^c e^{\frac{x}{2}} \end{eqnarray}$ was wiederum heisst $\begin{eqnarray} 1-e^{-u}= \tilde{c} e^{\frac{x}{2}} \end{eqnarray}$ Also $\begin{eqnarray} \tilde{c} \end{eqnarray}$ darf negativ sein.
30.08.2013, 17:09	MMLP	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Betrag entfernen, wieso? Zweiteres kann ich nachvollziehen, ersteres soweit auch, da wäre ich in der Situation aber nie so drauf gekommen. Danke an euch zwei!

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