Werte eines allgemienen Vierecks mit Trigonometrie bestimmen

31.08.2013, 09:18

sevensven

Werte eines allgemienen Vierecks mit Trigonometrie bestimmen

Meine Frage:
Hi zusammen! Ich finde keinen Ansatz für folgende Aufgabe:
"In einem allgemeinen Viereck ABCD sind gegeben:
a = 11.8; b = 6.5 ; c = 6.1 ;?= 71° und Beta = 52°.
Berechne die Länge der Seite d

Meine Ideen:
Ich habe eine Skizze gezeichnet. Sehe aber keinen Weg. Wie weiss man, die Austeilung der Winkel durch eine Diagonale? Ich sehe es nicht!

31.08.2013, 09:32

lgrizu

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RE: Werte eines allgemienen Vierecks mit Trigonometrie bestimmen
Welcher winkel soll denn ? sein?

31.08.2013, 09:35

sevensven

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RE: Werte eines allgemienen Vierecks mit Trigonometrie bestimmen
sollte der winkel alpha sein

31.08.2013, 09:48

sevensven

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RE: Werte eines allgemienen Vierecks mit Trigonometrie bestimmen
in den lösungen stehen zwei Werte: d(1)= 9.5; d(2): 5.2.
Wie lautet der Rechenweg? Vermutlich muss eine quadratische Gleichung gebildet werden - aber wie?

31.08.2013, 10:01

HAL 9000

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Zitat:

Original von sevensven
Vermutlich muss eine quadratische Gleichung gebildet werden

Oder auch Sinussatz iim Dreieck $\begin{eqnarray*} ACD \end{eqnarray*}$ vom Typ "sSw" anwenden.

31.08.2013, 10:48

sevensven

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Halbiert die Strecke AC den Winkel alpha?

31.08.2013, 10:55

HAL 9000

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Diese Diagonale teilt nur den Winkel $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ , was aber i.a. (und auch hier) keine Halbierung ist. Augenzwinkern

Du kannst doch den einen Teilwinkel im Dreieck ABC berechnen, und den anderen dann durch Differenzbildung zum gegebenen $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ ermitteln!

31.08.2013, 11:41

sevensven

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Ok. ich schreibe mal wie ich alpha aus dem Dreieck ABC rechne:
Mit dem Sinussatz.
$\begin{eqnarray*} \frac{a}{\sin(\alpha)}=\frac{b}{\sin(\beta)} \Rightarrow \frac{b}{a)}=\frac{\sin(128-\alpha)}{\sin(\alpha)} \end{eqnarray*}$

Dabei steht $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ bzw $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ im ABC Dreieck für Teil- $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ bzw. Teil- $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ im Viereck. Aus der oberen Gleichung erhalte ich:
$\begin{eqnarray*} \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)}=\frac{\frac{a}{b}+\cos(128)}{\sin(128)} \Rightarrow \tan(\alpha)=-12.15803 \end{eqnarray*}$

Aus arctan erhalte ich einen Winkel von -85 Grad!

Könnte mir jemand diesen Rechenweg vorrechnen?

Danke im Voraus

31.08.2013, 12:23

HAL 9000

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Zitat:

Original von sevensven
Ok. ich schreibe mal wie ich alpha aus dem Dreieck ABC rechne:
Mit dem Sinussatz.
$\begin{eqnarray*} \frac{a}{\sin(\alpha)}=\frac{b}{\sin(\beta)} \end{eqnarray*}$

Das ist eine unbedachte Übernahme der Seitensymbole vom "gewöhnlichen" Dreieck $\begin{eqnarray*} ABC \end{eqnarray*}$ . unglücklich

(EDIT: Ok, so unbedacht ist es doch nicht von dir. Aber deine Verwendung der in der Aufgabenstellung bereits belegten Symbole $\begin{eqnarray*} \alpha,\beta \end{eqnarray*}$ für andere Größen führt m.E. mittelfristig ins Chaos. Besser neu benennen und die Gleichungen gleich richtig aufstellen!)

Im Viereck gilt konventionsgemäß $\begin{eqnarray*} |AB|=a,|BC|=b,|CD|=c,|DA|=d \end{eqnarray*}$ sowie ebenfalls sehr üblich für die Diagonalen $\begin{eqnarray*} |AC|=e,|BD|=f \end{eqnarray*}$ .

In "unserem" Teildreieck $\begin{eqnarray*} ABC \end{eqnarray*}$ des Vierecks $\begin{eqnarray*} ABCD \end{eqnarray*}$ haben wir somit die Seitenlängen $\begin{eqnarray*} |AB|=a,|BC|=b,|AC|=e \end{eqnarray*}$ . Der Sinussatz würde hier also lauten

$\begin{eqnarray*} \frac{b}{\sin(\alpha_2)} = \frac{e}{\sin(\beta)} \end{eqnarray*}$

wobei $\begin{eqnarray*} \alpha_2 = |\angle BAC| \end{eqnarray*}$ der eine Teilwinkel von $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ ist, und e vorher mit dem Kosinussatz berechnet werden muss. Am besten machen wir erstmal eine Skizze:

[attach]31331[/attach]

Zitat:

Original von sevensven (Bezeichnung angepasst)
$\begin{eqnarray*} \ldots \Rightarrow \tan(\gamma_2)=-12.15803 \end{eqnarray*}$

Aus arctan erhalte ich einen Winkel von -85 Grad!

Der negative Winkel macht wenig Sinn - die Tangensgleichung hat noch andere, darunter auch für das Problem sinnvolle Lösungen, nämlich $\begin{eqnarray*} \gamma_2 = \arctan(-12.15803) + 180^{\circ} \approx 94.7^{\circ} \end{eqnarray*}$ .

31.08.2013, 13:06

sevensven

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danke

31.08.2013, 13:18

sevensven

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momentmal!

180-(Beta + Gamma(1)) sollte gleich Alpha1 ergeben. Wenn ich nach deinem Vorschlag rechne erhalte ich 17.96 =alpha1. nach meinem vorschlag sind es 33.298.

wieso?

31.08.2013, 13:21

sevensven

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ich meine Gamma(2) und Alpha(2)

31.08.2013, 13:29

HAL 9000

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Zitat:

Original von sevensven
Wenn ich nach deinem Vorschlag rechne erhalte ich 17.96 =alpha1.

Stimmt nicht. Zeig deine Rechnung, wenn du schon sowas behauptest. unglücklich

EDIT: Ach, ich seh es schon. Du hast wohl falscherweise $\begin{eqnarray*} e^2 \stackrel{???}{=} a^2+b^2 + 2ab\cos(\beta) \end{eqnarray*}$ gerechnet, der Kosinussatz lautet aber

$\begin{eqnarray*} e^2 = a^2+b^2 - 2ab\cos(\beta) \end{eqnarray*}$ .

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