Lineares Gleichungssstem lösen

31.08.2013, 15:27	Studi92	Auf diesen Beitrag antworten »
Lineares Gleichungssstem lösen Hallo Leute, ich möchte gerne folgendes Gleichungssystem lösen $\begin{eqnarray} x_2+x_3+2x_4-3x_5=6 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_1+2x_2-x_3-3x_4-2x_5=1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 2x_3+6x_4-2x_5=4 \end{eqnarray}$ Brauche ich bei diesem Gleichungssystem mit 5 Unbekannten und 3 Gleichungen dann zwei Parameter? Welche wären hier eine gute Wahl? Vielen Dank im Voraus!
31.08.2013, 15:43	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Da sich keine der Gleichungen aus den anderen beiden ergibt, ist der Lösungsraum durch zwei Parameter bestimmt.
31.08.2013, 19:56	Studi92	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok könnte man es so lösen: $\begin{eqnarray} x_4=s~,~x_5=t \end{eqnarray}$ Einsetzen in III $\begin{eqnarray} 2x_3+6s-2t=4 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_3=2-3s+t \end{eqnarray}$ Einsetzen in I $\begin{eqnarray} x_2+2-3s+t+2s-3t=6 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_2+2-s-2t=6 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_2=4+s+2t \end{eqnarray}$ Einsetzen in II $\begin{eqnarray} x_1+2(4+s+2t)-(2-3s+t)-3s-2t=1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_1+8+2s+4t-2+3s-t-3s-2t=1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_1=-5-2s-t \end{eqnarray}$ Angeben als $\begin{eqnarray} <br /> \begin{bmatrix}<br /> x_1\\ x_2\\x_3\\x_4\\x_5 <br /> \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -5\\ 4\\2\\0\\0\end{bmatrix}+s\begin{bmatrix} -2\\ 1\\-3\\1\\0\end{bmatrix}+t\begin{bmatrix} -1\\ 2\\1\\0\\1\end{bmatrix}<br /> \end{eqnarray}$ Würde das als Lösung ausreichen? Vielen Dank!
31.08.2013, 20:14	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Von der Rechnung her ist das korrekt. Vom formalen her würde ich als Korrektor aber noch ein paar zusätzliche Erklärungen erwarten. Um nur ein paar Punkte zu nennen: Woher weisst Du, dass Du $\begin{eqnarray} x_4 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x_5 \end{eqnarray}$ wählen kannst und nicht einer der Werte beispielsweise fest ist? In welchem Zusammenhang stehen die Gleichungen überhaupt? Wofür stehen s und t? Edit: Wieso hast Du eigentlich nicht mit Matrizen gerechnet? Hattet ihr das noch nicht? Das würde die Rechnung übersichtlicher machen und man hätte direkt eine Form anstreben können, die das Ablesen der Lösung erleichtert.
31.08.2013, 20:29	Studi92	Auf diesen Beitrag antworten »
Das habe ich ehrlich gesagt einfach so gemacht und gar nicht darüber nachgedacht. Ich dachte bei 3 Gleichungen mit 5 Unbekannten wähle ich einfach 2 Parameter und wir hatten oft die beiden letzten Variablen genommen. Wie kann man überprüfen welche überhaupt in Frage kommen würden? In welchem Zusammenhang die Gleichungen stehen wüsste ich es jetzt auch nicht. Früher in der Schule haben wir im Bereich der analytischen Geometrie die Vektoren nach s und t Richtungsvektoren genannt, aber wofür jetzt konkret Parameterbezeichnung (s,t) stehen sollte kann ich nicht sagen. Die Bezeichnung ist doch beliebig oder nicht? Kannst du mir weiterhelfen? EDIT: Matrizen sind mir bekannt, aber diese Teilaufgabe einer Übungsaufgabe war unter "Gaußscher Algorithmus" geführt. Wie könnte ich diese Aufgabe mit Matrizen lösen? Mir ist das nämlich gerade nicht ersichtlich.
31.08.2013, 22:35	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn Du Gleichungssysteme umformst, nimmt man dafür aus Übersichtgründen üblicherweise die Koeffizientenmatrix, da die Benennung der Variablen für die Lösung ja erst einmal völlig irrelevant ist. Diese fomst du dann entweder auf Zeilenstufenform (was hier durch eine einfache Vertauschung schon gegeben wäre) oder besser noch in eine mit soviele Einheitsvektoren in den Spalten wie der Rang der Matrix ist. Dann lässt sich die Lösung nämlich direkt ablesen und auch die Frage nach dem "Welche Variablen wähle ich" Nehmen wir mal an Du willst im $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray}$ das Gleichungsystem $\begin{eqnarray} x_1=1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} 2x_1=2 \end{eqnarray}$ lösen. dann wäre die zugehörige Koeffizientenmatrix gerade $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1&0&\|&1\\2&0&\|&2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Subtrahiert man von der zweiten Zeile das doppelte der ersten, so erhält man $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1&0&\|&1\\0&0&\|&0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Die erste Spalte ist ein Einheitsvektor, also können wir $\begin{eqnarray} x_2 \end{eqnarray}$ als freie Variable nutzen und erhalten schließlich die Lösung $\begin{eqnarray} x=\begin{pmatrix} 1\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix} 0\\1\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Mit dem Zusammenhang will ich auf die Thematik Implikation/Äquivalenz hinaus. Es genügt nicht im Studium nur Gleichungen untereinader zu schreiben. Sie müssen auch einen aussagenlogischen Zusammenhang haben. Ist die nächste Zeile nur eine Folgerung(Implikation) oder kann man die Folgerung auch zurücknehmen (Äquivalenz)? Und schließlich das Thema Parameter: Es sind ja nicht einfach nur irgendwelche Buchstaben, sondern sie stehen für Zahlen eines Bereiches. Für den Kontext ist es nun wichtig, aus welchen Zahlenbereich sie stammen. Sind es nur ganze Zahlen, natürliche, oder vielleicht komplexe?
Anzeige

01.09.2013, 12:16	Studi92	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok vielen Dank für die Erklärung!

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »