x welches 2 Kongruenzen erfüllt

31.08.2013, 19:57

baba2k

x welches 2 Kongruenzen erfüllt

Ich komme bei einer Aufgabe nicht weiter. Ich hoffe, dass jemand einen Tipp für mich hat.

Berechnen Sie ein $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ , das $\begin{eqnarray*} x \equiv 5~mod~8 \end{eqnarray*}$ (K1) und $\begin{eqnarray*} x \equiv 7~mod~9 \end{eqnarray*}$ (K2) erfüllt.

Musterlösung: Die ersten positiven Lösungen von (K1) sind: 5,13,21,29,37,45,53,61,... Man sieht,d ass x=61 auch die Kongruenz (K2) erfüllt.

Die verstehe ich auch, jetzt wollte ich es aber nach meinem Schema machen: Kongruenz

1. ggT(8,9)=ggT(9,8)=ggT(8,1)=1 --> Es gibt eine Lösung
2. x=5+8s und x=7+9t --> 2=8s-9t
3. Rückwärtseinsetzen: 1=-1*8+1*9
4. 1=-1*8+1*9 auf Format 2=8s-9t bringen: s=-2, t=2
5. x=5+8*(-2) = -11

Was stimmt da nicht? Ich muss ja auf 61 kommen...

Vielen Dank!

31.08.2013, 20:06

watcher

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Hallo,

Zitat:

Ich muss ja auf 61 kommen...

Nein musst du nicht. Auch -11 ist ein gesuchtes x.
Und es ist $\begin{eqnarray*} -11 \equiv 61 \mod 9\cdot 8 =72 \end{eqnarray*}$ was jetzt nicht sonderlich überraschen sollte.

31.08.2013, 20:15

baba2k

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Okay, was mir grad noch auffällt:
Durch Rückwärtseinsetzen bekomme ich:
$\begin{eqnarray*} 1=-1*8+1*9 \end{eqnarray*}$
Wenn ich das jetzt mit 2 multipliziere hab ich aber
$\begin{eqnarray*} 2=-8s+9t \end{eqnarray*}$ und nicht $\begin{eqnarray*} 2=8s-9t \end{eqnarray*}$

Stimmen dann mein s und t trotzdem?

Dann müsste ja auch folgendes richtig sein:

x = 7+9t
x = 7+9*2
x = 25

Aber wenn ich das austeste wie in der Müsterlösung ist x = 61 die erste postive Zahl die passt.

Irgendwie stehe ich auf dem Schlauch...

Danke!

31.08.2013, 20:21

watcher

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Dein s und t sowie das x stimmen.

Zitat:

Durch Rückwärtseinsetzen bekomme ich: $\begin{eqnarray*} 1=-1*8+1*9 \end{eqnarray*}$ Wenn ich das jetzt mit 2 multipliziere hab ich aber $\begin{eqnarray*} 2=-8s+9t \end{eqnarray*}$ und nicht $\begin{eqnarray*} 2=8s-9t \end{eqnarray*}$

Wie du darauf kommst ist mir schleierhaft.
Wenn man eine Gleichung mit einer Zahl multipliziert tauchen niemals Variablen aus dem nirgendwo auf.

31.08.2013, 20:24

baba2k

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So ist das gemeint:

$\begin{eqnarray*} 1=-1*8+1*9 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2=-2*8+2*9 \end{eqnarray*}$

Aber Laut 3. muss ich ja auf $\begin{eqnarray*} 2=8s-9t \end{eqnarray*}$ kommen, ich glaub ich muss mal eine Pause machen...

danke!

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