Wahrscheinlichkeits Rechn. u. Urnen-Experiment

31.08.2013, 21:16

NochNGast

Wahrscheinlichkeits Rechn. u. Urnen-Experiment

Hallo alle miteinander!

ich sitze gerade vor folgenden Aufgaben und habe Probleme sie zu lösen.

1. Aus einer Urne mit 2 roten und 3 weissen Kugeln wird zufällig eine entnommen und in eine Urne gelegt, in der sich 3 rote und 2 weisse Kugeln befinden. Aus dieser Urne wird dann eine Kugel entnommen. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, daß aus der zweiten Urne eine rote Kugel entnommen wird.

2. Ein Mann ist mit seiner Freundin um 17.00 Uhr verabredet. Er wählt zufällig einen Zeitpunkt zwischen 16.55 und 17.10, die Freundin einen Zeitpunkt zwischen 16.50 und 17.05. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er vor seiner Freundin eintrifft?

Meine Idee zu 1.:
Die Wahrscheinlichkeit aus der ersten Urne eine rote Kugel zu ziehen ist $\begin{eqnarray*} \frac{2}{5} = 0,4 \end{eqnarray*}$
Wenn man eine rote zieht und diese dann in die zweite Urne legt, hat ist die Wahrscheinlichkeit dann $\begin{eqnarray*} \frac{4}{6} = 0,67 \end{eqnarray*}$ aus der zweiten Urne auch eine rote zu ziehen.

Für den Fall, dass beides eintrifft ist die Wahrscheinlichkeit dann also $\begin{eqnarray*} \frac{2}{5} * \frac{4}{6} = 0,27 \end{eqnarray*}$

Und das ganze für den Fall, dass man aus der ersten Urne eine weiße Kugel zieht:

$\begin{eqnarray*} \frac{3}{5} = 0,6 \end{eqnarray*}$ Für die erste Urne.
Dann hat man in der zweiten Urne 3 weiße und 3 rote Kugeln. Die Wahrscheinlichkeit aus der zweiten urne nun eine rote kugel zu ziehen ist dann also
$\begin{eqnarray*} \frac{3}{6} = 0,5 \end{eqnarray*}$

Die Wahrscheinlichkeit, dass beides eintritt ist also dementsprechend: $\begin{eqnarray*} \frac{3}{5} * \frac{3}{6} = 0,3 \end{eqnarray*}$

Und 0,3 * 0,27 = 0,081 ist dann das Ergebnis bzw. die Wahrscheinlichkeit aus der zweiten Urne tatsächlich eine rote Kugel zu ziehen.

Stimmt das soweit?

Bei Aufgabe 2 habe ich leider überhaupt keine Idee unglücklich

Wäre super, wenn mir das jemand (möglichst für Dummis :P ) erklären könnte smile

31.08.2013, 21:44

Dopap

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1.) das ist soweit gut dargelegt. ! Es sind also 4 Pfade ( --> Baumdiagramm ) die sich ausschließen.

Nur werden am Ende die Wkts addiert. =0.57

Eine Wkt von 0.081 ist doch angesichts der Zahlen nicht glaubhaft.

Da vermutet man doch eher was in der Gegend von 0.5 oder ?

2.) ist noch in Arbeit! Hat jemand direkt eine Idee ?

31.08.2013, 22:24

NochNGast

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Hab mir schon gedacht, dass mit dem Ergebnis irgendetwas nicht stimmt. 0,081 ist wirklich etwas "unwahrscheinlich" Hammer

Ohje, dann scheint es Afg 2 ja wirklich in sich zu haben. O.o

31.08.2013, 22:25

Dopap

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2.) nicht ganz einfach.

F sei die gleichverteilte Ankunftszeit der Freundin, ( es seien immer 16 h abgezogen ) der Erwartungswert $\begin{eqnarray*} \mu_F= 57.5 min \end{eqnarray*}$

M sei die gleichverteilte Ankunftszeit des Mannes, ( es seien immer 16 h abgezogen ) der Erwartungswert $\begin{eqnarray*} \mu_M = 62.5 min \end{eqnarray*}$

Die Aufgabe kann nicht stimmen ! seit wann kommt eine Frau früher zum Treffen ?? Big Laugh

Nun ist aber die Varianz von Interesse. Diese beträgt jeweils $\begin{eqnarray*} \sigma^2=\frac {1}{12}15 \end{eqnarray*}$

Gesucht ist nun $\begin{eqnarray*} p(M<F) \end{eqnarray*}$ .

Nimmt man eine neue Zufallsvariable D=M-F dann ist nach $\begin{eqnarray*} p(D\leq 0) \end{eqnarray*}$ gesucht.

Diese Zufallsvariable hat der Erwartungswert $\begin{eqnarray*} \mu_D= \mu_M-\mu_F \end{eqnarray*}$

und die Varianz $\begin{eqnarray*} \sigma^2_D=\sigma^2+\sigma^2 =2\sigma^2 \end{eqnarray*}$

und nun ist $\begin{eqnarray*} \phi \left ( \frac {\mu_D}{\sqrt 2 \sigma } \right) \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} \phi(x) \end{eqnarray*}$ als standardisierte Normalverteilung zu berechnen.

Das kommt mir ein wenig zu viel für eine Schulaufgabe vor. verwirrt

31.08.2013, 22:32

NochNGast

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O.O Boff!

Also wenn das mein Lehrer als Lösung erwartet dann erzähl ich dem mal was... böse

Das muss doch auch irgendwie einfacher zu lösen sein.

Trotzdem aber schonmal vielen Dank für deine Bemühungen!

31.08.2013, 22:46

Dopap

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dachte ich mir ! die formale Komplettlösung ist doch nur eine Abschreckung.

Aber man könnte noch anderst herangehen:

Die Ankunfstzeiten sind diskret, d. h. nur minutengenau.

und jetzt:
1.) p(M= 51 und F<51)
2.) p(M=52 und F<52)
3.) p(M=53 und F<53)
4.) p(M=54 und F<54)
.....

---------------------------------------------
Summe

das würde relativ einfach gehen, da Gleichverteilung gilt.

Also: jedes p(M=...) hat denselben Wert=1/15
jedes p(F<...) ist nur die Intervalllänge geteilt 15

31.08.2013, 22:57

NochNGast

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So ganz verstehe ich das leider noch nicht.

Wie muss ich da genau bei vorgehen?
Würd mich freuen, wenn Du mir das nochmal etwas genauer erklären könntest smile

31.08.2013, 23:20

Dopap

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das minutengenau Eintreffen von M hat immer die Wkt =1/15 egal für welche Minute.

sagen mir mal t= 60. Dann trifft die Frau früher ein wenn sie im Intervall 50-59 eintrifft.

dieses Intervall hat nach Dreisatz die Wkt $\begin{eqnarray*} \frac {9}{15} \end{eqnarray*}$ da die Dame ebenfalls mit Wkt = 1/15 pro Minute eintrifft.

Insgesamt:

$\begin{eqnarray*} p( M=60 ~~\text{und}~~ F<60)= \frac {1}{15}\cdot\frac {9}{15} \end{eqnarray*}$

Wenn man nun die Summe über alle männlichen Ankunftszeiten bildet, dann kann man 1/15 ausklammern und in der Klammer steht eine arithmetische Summe.

soweit klar?

01.09.2013, 00:04

NochNGast

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Leider noch immer nicht ganz.

Vllt würde ich es besser "step-by-step" verstehen.

"das minutengenau Eintreffen von M hat immer die Wkt =1/15 egal für welche Minute."
Das kann ich nachvollziehen. Der Rest macht mir allerdings noch immer Probleme unglücklich

01.09.2013, 00:29

Dopap

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eine Gleichverteilung, bedeutet wie beim Spielwürfel, dass jede Zahl diesselbe Wkt hat.

Das heißt, jede Ankunftszeit ist wie das würfeln mit einem Würfel mit 15 Flächen.

Aber mal der Reihe nach:
------------------------------------------------------------------------------------------------------
M=55, dann hat die Frau 4 Möglichkeiten mindestens 1 Minute früher zu erscheinen.

Sie erscheint früher mit der Wkt $\begin{eqnarray*} 4 \cdot \frac {1}{15} \end{eqnarray*}$

Das Ereignis ist mit und verknüpft und die Wkts werden multipliziert

$\begin{eqnarray*} p_{55}= \frac {1}{15}\cdot \frac {4}{15} \end{eqnarray*}$
__________________________________________________________

M=56, dann hat die Frau 5 Möglichkeiten mindestens 1 Minute früher zu erscheinen.

Sie erscheint früher mit der Wkt $\begin{eqnarray*} 5 \cdot \frac {1}{15} \end{eqnarray*}$

Das Ereignis ist mit und verknüpft und die Wkts werden multipliziert

$\begin{eqnarray*} p_{56}= \frac {1}{15}\cdot \frac {5}{15} \end{eqnarray*}$
__________________________________________________________

M=57, dann hat die Frau 6 Möglichkeiten mindestens 1 Minute früher zu erscheinen.

Sie erscheint früher mit der Wkt $\begin{eqnarray*} 6 \cdot \frac {1}{15} \end{eqnarray*}$

Das Ereignis ist mit und verknüpft und die Wkts werden multipliziert

$\begin{eqnarray*} p_{57}= \frac {1}{15}\cdot \frac{6}{15} \end{eqnarray*}$
__________________________________________________________

und so weiter bis M=65

ist das Prinzip nun klar?

01.09.2013, 01:11

Dopap

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da es schon spät ist, es sind also alle $\begin{eqnarray*} p_{50} ~~\text{bis} ~~ p_{65} \end{eqnarray*}$ zu addieren.

formal so:

$\begin{eqnarray*} p(M<F) = \frac {1}{15} \sum_{i=0}^{15}\frac {4+i}{15}=\frac {1}{225}\cdot \underbrace {\sum_{i=0}^{15} 4+i}_{\text {arithmetische Summe}} \end{eqnarray*}$

01.09.2013, 09:41

Huggy

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@Dopap
Das ist ja ein wildes herumraten.

(1) Gesucht ist $\begin{eqnarray*} P(M<F) \end{eqnarray*}$ . Du betrachtest mal $\begin{eqnarray*} P(F<M) \end{eqnarray*}$ , mal das gesuchte $\begin{eqnarray*} P(M<F) \end{eqnarray*}$ .

(2) Was hat die Normalverteilung in der Aufgabe zu suchen. Die Differenz $\begin{eqnarray*} F - M \end{eqnarray*}$ ist nicht normalverteilt, auch nicht näherungsweise.

(3) Es ist möglich, dass die Diskretisierung die angedachte Lösung ist. Allerdings erhebt sich dann die Frage, weshalb man in Minuten diskretisiert und nicht in Sekunden oder einer sonstigen Zeiteinheit.
Auf jeden Fall muss man dabei beachten, dass der Mann nicht früher als die Frau eintreffen kann, wenn er nach 17:05 eintrifft. Das hast du nicht gemacht. Außerdem muss man sich entscheiden, ob man Zeitpunkte oder Zeitintervalle betrachtet. Zeitpunkte gibt es für jede Person 16, Zeitintervalle dagegen nur 15.

(4) Vermutlich soll man das mittels geometrischer Wahrscheinlichkeit lösen, was ganz simpel ist. Man zeichne sich das Quadrat mit den möglichen Ankunftszeiten von Mann und Frau auf. $\begin{eqnarray*} (M, F) \end{eqnarray*}$ ist innerhalb dieses Quadrates gleichverteilt. $\begin{eqnarray*} P(M < F) \end{eqnarray*}$ ist gleich dem Anteil der Fläche an der Quadratfläche, in dem $\begin{eqnarray*} M < F \end{eqnarray*}$ gilt.

01.09.2013, 10:29

HAL 9000

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Geometrische Wahrscheinlichkeit
Eine passende Skizze zu den Ausführungen von Huggy. Die Koordinatenachsen kennzeichnen die Ankunftszeiten in Minuten bezogen auf den Referenzzeitpunkt 17 Uhr, x für den Mann, y für die Frau:

[attach]31338[/attach]

01.09.2013, 20:46

NochNGast

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Erst mal sry für meine späte Antwort!

verwirrt

Hmm..

Um die Lösung mittels geometrischer Wahrscheinlichkeit zu verstehen:

Alle Zahlen im negativen Bereich bezeichnen Uhrzeiten vor 17.00 Uhr
und dementsprechend alle positiven Zahlen Uhrzeiten nach 17.00 Uhr, richtig?

Bzw.: y=5 ist 17.05
y=-10 ist 16.50

Und weil der (im geplanten Zeitrahmen liegende) Zeitraum in der Er früher als Sie eintrifft nur von 16.55-17.05 geht, definiert sich das Dreieck durch diese Uhrzeiten.

Nun stellt sich mir allerdings noch eine Frage: Kann man das Schraffierte auch in einer Zahl ausdrücken?

Aber schonmal vielen Dank für euer aller Hilfe!

01.09.2013, 21:31

Huggy

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Zitat:

Original von NochNGast
Nun stellt sich mir allerdings noch eine Frage: Kann man das Schraffierte auch in einer Zahl ausdrücken?

Das Schraffierte ist ein rechtwinkliges Dreieck. Dessen Fläche sollte berechenbar sein. Die Gesamtfläche ist ein Quadrat. Das sollte auch berechenbar sein.

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