Diverse Unterräume nachweisen / Basis und Dimension

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Studi92 Auf diesen Beitrag antworten »
Diverse Unterräume nachweisen / Basis und Dimension
Hallo Leute,
ich habe hier die Aufgabe Mengen im Vektorraum (mit der üblichen Addition und skalaren Multiplikation) darauf zu überprüfen, ob sie einen Unterraum des bilden und gegebenfalls die Basis und Dimension angeben.






Die Unterraum-Axiome sind mir bekannt, aber so richtig verstehe ich diese nicht.

Zu den Axiomen am Beispiel

1.) Nullvektor enthalten?
Ist damit jetzt der Vektor gemeint oder aber ob es einen Vektor gibt, dass auf beiden Null steht, also ?

2.)Abgeschlossenheit bezüglich der Addition
Muss ich dafür jetzt etwas wie und für einsetzen?

Dann wäre es ja und , muss ich das nach 0 Umstellen und dann addieren?

und



Woran sehe ich jetzt ob das noch in meiner Menge liegt oder eben nicht? Also ob das Kriterium erfüllt ist oder dagegen verstoßen?

3.)Abgeschlossenheit bezüglich der skalaren Multiplikation

Wie kann man hier einen Nachweis erbringen?


Vielen Dank im Voraus!
magic_hero Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Diverse Unterräume nachweisen / Basis und Dimension
Zitat:
Original von Studi92
1.) Nullvektor enthalten?
Ist damit jetzt der Vektor gemeint oder aber ob es einen Vektor gibt, dass auf beiden Null steht, also ?

Der Nullvektor muss im Unterraum liegen, d.h. ersteres.

Zitat:
Original von Studi92
2.)Abgeschlossenheit bezüglich der Addition
Muss ich dafür jetzt etwas wie und für einsetzen?

Genau, du nimmst dir zwei solche Vektoren, die in liegen(!), also die Gleichung erfüllen, die in angegeben ist. Dann überprüfst du, ob die Summe auch in liegt, d.h. du addierst beide Vektoren und schaust, ob dieser neue Vektor auch die Gleichung von erfüllt.
Zitat:
Original von Studi92
Woran sehe ich jetzt ob das noch in meiner Menge liegt oder eben nicht? Also ob das Kriterium erfüllt ist oder dagegen verstoßen?

s.o.

Zitat:
Original von Studi92
3.)Abgeschlossenheit bezüglich der skalaren Multiplikation

Wie kann man hier einen Nachweis erbringen?

Genauso wie bei 2.). D.h. du nimmst eine beliebige reelle Zahl, und prüfst dann ob mit auch in liegt.
Studi92 Auf diesen Beitrag antworten »

Der Nullvektor liegt bei aber ja gar nicht in der Ebene oder?



Würde das dann in diesem Fall schon ausreichen für einen Nachweis, dass hier kein Unterraum vorliegt?


Könnte man bei auch einfach ein Gegenbeispiel finden und es somit nachweisen?

So wäre ja z.B. und in der Menge, aber bei einer Addition

würde dieser Vektor ja nicht mehr in der Menge liegen und somit gegen das zweite Axiom verstoßen oder?


Wenn ich es bei nachprüfe:

1.)
Nullvektor enthalten?



2.)
Abgeschlossenheit bezüglich der Addition

Ich verstehe deine Formulierung jetzt so, dass ich das mit zwei konkreten Vektoren prüfen könnte, aber das wäre dann ja nicht allgemeingültig oder? Wenn ich es jetzt hingegen mit Parametern versuche (wie im Eingangspost) kann ich nie erkenen, ob das jetzt zutrifft oder nicht.

und

3.)
Abgeschlossenheit bezüglich der Multiplikation

Wenn ich hier jetzt etwas Konkretes z.B. nehme erfüllt ja auch jedes Vielfache davon meine Gleichung, wäre aber auch wieder nicht allgemeingültig oder?


Vielen Dank!smile
magic_hero Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Studi92
Der Nullvektor liegt bei aber ja gar nicht in der Ebene oder?



Würde das dann in diesem Fall schon ausreichen für einen Nachweis, dass hier kein Unterraum vorliegt?

Ja, das genügt. In einem schriftlichen Beweis würde ich aber noch etwas mehr "Struktur" erwarten, d.h. z.B. Äquivalenzpfeil zwichen den beiden Gleichungen, und dann noch begründen, warum aufgrund dieser nicht gültigen Gleichung kein UVR ist.

Zitat:
Original von Studi92
Könnte man bei auch einfach ein Gegenbeispiel finden und es somit nachweisen?

So wäre ja z.B. und in der Menge, aber bei einer Addition

würde dieser Vektor ja nicht mehr in der Menge liegen und somit gegen das zweite Axiom verstoßen oder?

Genau. Ein Gegenbsp. genügt, da die Axiome ja für alle Vektoren erfüllt sein müssen, die in der jeweiligen Menge liegen.

Zitat:
Original von Studi92
Wenn ich es bei nachprüfe:

1.)
Nullvektor enthalten?


Korrekt.

Zitat:
Original von Studi92
2.)
Abgeschlossenheit bezüglich der Addition

Ich verstehe deine Formulierung jetzt so, dass ich das mit zwei konkreten Vektoren prüfen könnte, aber das wäre dann ja nicht allgemeingültig oder?

Das reicht nicht, da, wie du ja selbst erkannt hast, es für alle gelten muss.
Zitat:
Original von Studi92
Wenn ich es jetzt hingegen mit Parametern versuche (wie im Eingangspost) kann ich nie erkenen, ob das jetzt zutrifft oder nicht.

und

Das Umstellen nach 0 bringt dir in diesen Aufgaben herzlich wenig. Addiere doch mal beide Gleichungen, die du erhältst. Erkennst du dann etwa?
Zitat:
Original von Studi92
3.)
Abgeschlossenheit bezüglich der Multiplikation

Wenn ich hier jetzt etwas Konkretes z.B. nehme erfüllt ja auch jedes Vielfache davon meine Gleichung, wäre aber auch wieder nicht allgemeingültig oder?

Genau, wäre wieder dasselbe Problem wie bei 2.). Rechne also mit beliebigen und . Wie Skalarmultiplikation mit Vektoren funktioniert, sollte dir hoffentlich ja bekannt sein. Dann gehe "denselben" Weg wie bei 2.) und überprüfe, ob die Gleichung, die die Menge beschreibt, auch für den neuen Vektor gilt.
Studi92 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe hier ein großes Verstädnisproblem, denn ich wüsste jetzt nicht wie ich zwei Gleichungen wie

und addieren kann ohne die vorher umzustellen?

Oder ist eher in dem Sinne gemeint

Mir fällt ehrlich gesagt nichts auf.
Studi92 Auf diesen Beitrag antworten »

und

Abgeschlossenheit der Addition



Abgeschlossenheit der skalaren Multiplikation




Würde das vielleicht als Nachweis reichen? verwirrt

Vielen Dank!Wink

EDIT:
Falls das richtig sein sollte:
Wäre dann meine Basis mit der Dimension 1?
 
 
LonZealot Auf diesen Beitrag antworten »

magic_hero scheint gerade nicht da zu sein, also springe ich mal kurz ein.

Das würde als Nachweis reichen, aber bei der Abgeschlossenheit der skalaren Multiplikation wäre noch schöner. Augenzwinkern

Basis und Dimension sind so auch richtig.

Edit: Bei der Addition könntest du am besten noch dazu schreiben was sein soll, also .
Studi92 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok vielen Dank für die Hilfe von euch! Freude

EDIT:
Ich habe hier noch eine Aufgabe im Vektorraum mit und weiß da auch nicht weiter.

Kann ich die hier bearbeiten oder muss ich dafür einen neuen Thread erstellen?
magic_hero Auf diesen Beitrag antworten »

Wieder da smile

Zitat:
Original von Studi92
Ich habe hier noch eine Aufgabe im Vektorraum mit und weiß da auch nicht weiter.

Kann ich die hier bearbeiten oder muss ich dafür einen neuen Thread erstellen?

Ich denke, das kann man auch in diesem Thread erledigen.

Zunächst einmal ist da irgendwo ein Fehler drin, denn ein Element von der Form (x,y,z) kann keine reelle Zahl sein. Ich vermute, dass da stehen sollte. Dann kann man prinzipiell alles genauso machen, wie wir es bisher hier im Thread besprochen hatten; beachte die Skalarmultiplikation in der Definition von . Vielleicht wird es dir klarer, wenn du die einfach mal wieder ausführst, dann siehst du nämlich, welche "Form" Vektoren in haben müssen.
Studi92 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das war tatsächliche ein Tippfehler.

Jetzt steht hier aber ja aber etwas mit dem Parameter t

Kann man auffassen als ?

Ich wüsste nämlich jetzt nicht wie ich das addieren soll oder prüfen ob der Nullvektor vorhanden ist. Es hängt doch jetzt noch zusätzlich alles vom Parameter t ab oder nicht? verwirrt
magic_hero Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Studi92
Ja, das war tatsächliche ein Tippfehler.

Jetzt steht hier aber ja aber etwas mit dem Parameter t

Kann man auffassen als ?

Ja, du kannst jetzt Vektoren in auffassen als mit .

Zitat:
Original von Studi92
Ich wüsste nämlich jetzt nicht wie ich das addieren soll oder prüfen ob der Nullvektor vorhanden ist. Es hängt doch jetzt noch zusätzlich alles vom Parameter t ab oder nicht? verwirrt

Wenn du jetzt zwei beliebige Vektoren aus der Menge hernimmst, haben die halt diese Form, die du bereits angegeben hast. Natürlich nicht mit demselben Parameter t (benenne die daher z.B. ). Wählst du ein konkretes , so erhältst du einen konkreten Vektor aus . Zum Beispiel t=1: Dann ist (weil 1 eine reelle Zahl ist, und t in der Definition alle reellen Zahlen durchläuft).

Um zu zeigen, dass der Nullvektor in der Menge liegt, musst du nur t geschickt wählen. Ist hier nicht besonders schwierig Augenzwinkern
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