Mengen berechnen

01.09.2013, 13:05

Theend9219

Mengen berechnen

Guten Tag

,
Ich habe folgende Aufgabe vor mir:

Es sei $\begin{eqnarray*} t \in \mathbb R_{\geq 0} := \left\{ x \in \mathbb R | x > 0 \right\} \end{eqnarray*}$ . Wir definieren die Mengen $\begin{eqnarray*} M_{t} :=\left\{ x \in \mathbb R | 0 <x <t \right\} \end{eqnarray*}$ . Berechne nun folgende Mengen:

a) $\begin{eqnarray*} \cup_{0 \leq t \leq 1} M_{t} \end{eqnarray*}$
b) $\begin{eqnarray*} \cap_{0 <t \leq 1} M_{t} \end{eqnarray*}$

Wie gehe ich denn bei dieser Aufgabe vor?
Meine Idee ist lediglich:
a) $\begin{eqnarray*} \cup_{0 \leq t \leq 1} M_{t} = M_{0} \cup ...\cup M_{t} ...\cup M_{1} \end{eqnarray*}$
...

Liebe Grüße Shelly ..

01.09.2013, 13:27

Guppi12

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Hallo,

Zunächst einmal:

$\begin{eqnarray*} \mathbb R_{\geq 0} = \{x\in\mathbb R|x\geq 0\} \end{eqnarray*}$ , aber das war sicher nur ein Schreibfehler.

Zur Aufgabe:

Für $\begin{eqnarray*} t_1 < t_2 \end{eqnarray*}$ folgt $\begin{eqnarray*} M_{t_1} \subset M_{t_2} \end{eqnarray*}$ (das müsstest du noch zeigen, ist aber nicht schwer).

Kommst du damit schon weiter?

Edit:
Die Vereinigung würde ich übrigens nicht mit Pünktchen schreiben. Das lässt vermuten, dass die Vereinigung abzählbar wäre, was sie natürlich nicht ist.

02.09.2013, 15:07

Theend9219

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Hey Guppi12 Augenzwinkern

,
Vielen lieben Dank für Deine Antwort.

Um die Teilmenge zu zeigen habe ich mir überlegt:

$\begin{eqnarray*} M_{t_{1}} \subset M_{t_{2}} \Leftrightarrow M_{t_{1}} \subseteq M_{t_{2}} \wedge M_{t_{1}} \neq M_{t_{2}} \end{eqnarray*}$

Kannst du mir vielleicht ein Tipp geben, was ich für die Punkte korrekt notieren kann?

Liebe Grüße
Shelly

02.09.2013, 16:53

Guppi12

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@integralabs:

Komplettlösungen sind hier unerwünscht, da sie dem Fragesteller in den seltensten Fällen wirklich helfen. Viel mehr hilft es, wenn der Fragesteller mit Tipps selbst auf die Lösung kommt. Ebenso ist es nicht gerne gesehen, wenn sich eine 3. Person in einen bereits laufenden Thread einmischt, ohne dass Probleme bestehen. Siehe dir dazu als neuer User mal das Boardprinzip an Augenzwinkern

Ich habe die beiden Beiträge von integralabs in den Spam verschoben.

@Theend:
Was soll ich da noch sagen, die Komplettlösung steht ja schon da.. (falls du das entziffern kannst)

Laut Zeitstempel dürfte er sie noch nicht gelesen haben...

02.09.2013, 17:03

Theend9219

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Hallo Guppi12,
Ich habe keine Lösung gesehen - mag auch keine sehen aber ich hoffe trotzdem das du mir helfen kannst .. Liebe grüsse

02.09.2013, 17:04

Guppi12

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Also gut, ich lasse den obigen Beitrag mal unverändert, da sonst wohlmöglich Verwirrungen entstehen.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} M_{t_{1}} \subset M_{t_{2}} \Leftrightarrow M_{t_{1}} \subseteq M_{t_{2}} \wedge M_{t_{1}} \neq M_{t_{2}} \end{eqnarray*}$

Der 2. Teil, also dass $\begin{eqnarray*} M_{t_1} \neq M_{t_2} \end{eqnarray*}$ auch gilt, ist nicht so wichig. Darauf wollte ich auch nicht hinaus, als ich $\begin{eqnarray*} \subset \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} \subseteq \end{eqnarray*}$ schrieb. Ersteres heißt bei mir einfach Teilmenge, ich unterscheide dabei nicht, ob es eine echte Teilmenge ist. Um also den wichtigen Teil, also $\begin{eqnarray*} M_{t_1} \subseteq M_{t_2} \end{eqnarray*}$ zu zeigen, gehst du am besten vor, wie immer der erste Gedanke bei einer Inklusion ist. Man nimmt sich ein Element der ersten Menge (beliebig) und zeigt, dass es auch Element der anderen Menge ist.

02.09.2013, 18:14

Theend9219

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Danke für deine Antwort.
Also $\begin{eqnarray*} M_{t_{1}} \subseteq M_{t_{2}} \Leftrightarrow M_{t_{1}} \cup M_{t_{2}}= M_{t_{2}} \end{eqnarray*}$

und
$\begin{eqnarray*} M_{t_{1}} \subseteq M_{t_{2}} \Leftrightarrow M_{t_{1}} \cap M_{t_{2}}= M_{t_{1}} \end{eqnarray*}$

Oder meinst du vielleicht.

wenn $\begin{eqnarray*} x \in M_{t_{1}} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} M_{t_{1}} \subseteq M_{t_{2}} \end{eqnarray*}$ gilt auch $\begin{eqnarray*} x \in M_{t_{2}} \end{eqnarray*}$

?

Liebe Grüße

02.09.2013, 18:21

Guppi12

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Hast du denn das hier schon gezeigt:

Zitat:

Für $\begin{eqnarray*} t_1 < t_2 \end{eqnarray*}$ folgt $\begin{eqnarray*} M_{t_1} \subset M_{t_2} \end{eqnarray*}$

?

Falls nein, nutze, um das zu zeigen:

Zitat:

wenn $\begin{eqnarray*} x \in M_{t_{1}} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} M_{t_{1}} \subseteq M_{t_{2}} \end{eqnarray*}$ gilt auch $\begin{eqnarray*} x \in M_{t_{2}} \end{eqnarray*}$

Falls ja, nutze diese Eigenschaft hier:

Zitat:

Also $\begin{eqnarray*} M_{t_{1}} \subseteq M_{t_{2}} \Leftrightarrow M_{t_{1}} \cup M_{t_{2}}= M_{t_{2}} \end{eqnarray*}$

Für die erste der Aufgaben.

02.09.2013, 18:49

Theend9219

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Hallo, nochmals vielen Dank für deine Antwort.
Ich weiß, dass wegen $\begin{eqnarray*} 0 < x < t \end{eqnarray*}$ gelten muss, dass $\begin{eqnarray*} M_{0} < M_{t} \end{eqnarray*}$ sein muss

Ich habe irgendwie keinen Ansatz und weiß auch nicht unter welchen Stichwörtern ich recherchieren soll, denn Mengeninklusion liefert mir keinen Weg..

Grüße..

02.09.2013, 19:12

Guppi12

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Es ist gerade schwierig für mich herauszulesen, ob du den ersten Teil

Zitat:

Für $\begin{eqnarray*} t_1 < t_2 \end{eqnarray*}$ folgt $\begin{eqnarray*} M_{t_1} \subset M_{t_2} \end{eqnarray*}$

schon gezeigt hast. Deswegen weiß ich nicht, in welche Richtung die Tipps gehen müssen.

Magst du das einmal beantworten?

02.09.2013, 19:15

Theend9219

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Nein das habe ich noch nicht gezeigt.. Da weis ich nicht wie ich herangehen soll...Obwohl du mir schon den Tipp gegeben hast .. aber der hilft mir nicht wirklich ..

02.09.2013, 19:24

Guppi12

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Ok, also Grundlagentraining Augenzwinkern

Seien $\begin{eqnarray*} A_1,A_2 \end{eqnarray*}$ Mengen. Will man zeigen, dass $\begin{eqnarray*} A_1 \subseteq A_2 \end{eqnarray*}$ , geht man wie folgt vor.
Man nimmt sich $\begin{eqnarray*} x\in A_1 \end{eqnarray*}$ und zeigt, dass es auch in $\begin{eqnarray*} A_2 \end{eqnarray*}$ liegt. Ein kleines Beispiel:

Sei $\begin{eqnarray*} A_1 := \{x\in\mathbb R~|~ x = x^2\} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} A_2 := \{x\in\mathbb R~|~ x^2 = x^4\} \end{eqnarray*}$ .
In dem Fall sind natürlich beide Mengen endlich und man kann nach berechnung der Elemente sofort sehen, dass $\begin{eqnarray*} A_1\subseteq A_2 \end{eqnarray*}$ gilt. Man kann es aber auch anhand der abstrakten Definition zeigen. Das geht wie folgt:

Sei $\begin{eqnarray*} x\in A_1 \end{eqnarray*}$ . Dann gilt $\begin{eqnarray*} x = x^2 \end{eqnarray*}$ . Quadrieren beider Seiten liefert $\begin{eqnarray*} x^2 = x^4 \end{eqnarray*}$ . Dann folgt aber bereits $\begin{eqnarray*} x\in A_2 \end{eqnarray*}$ . Da $\begin{eqnarray*} x \in A_1 \end{eqnarray*}$ beliebig gewählt war, gilt $\begin{eqnarray*} A_1\subseteq A_2 \end{eqnarray*}$ .

Genau so funktioniert es bei dir auch. Nimm dir mal ein $\begin{eqnarray*} x\in M_{t_1} \end{eqnarray*}$ . Welche Eigenschaft muss dann dieses $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ haben? (die Menge ist dadurch charakterisiert, dass eben alle $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ darin diese Eigenschaft haben)

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