Parametrisierung Kurvenintegral

01.09.2013, 13:30	Davi9	Auf diesen Beitrag antworten »
Parametrisierung Kurvenintegral Meine Frage: Hallo zusammen, ich bin weiterhin dabei, mich auf meine Analysis Klausur vorzubereiten und habe eine Frage zu folgender Aufgabe: Berechnen Sie das Kurvenintegral $\begin{eqnarray} \int_c \! f(x) \, dx \end{eqnarray}$ längs der Kurve c, die den Streckenzug von (1,1,1) über (0,0,0), (e,-15,0) und (3,0,wurzel(2)) nach (-1,20) darstellt. $\begin{eqnarray} f(x,y,z)=\begin{pmatrix} 2xy \\ x²+2y+e^{z} \\ 2ye^{2z} -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Mir ist klar, dass ich zuerst die Strecken parametrisieren muss, allerdings ist genau das der Punkt, bei dem ich Schwierigkeiten habe. Ich habe mir überlegt, dass es 4 Strecken gibt: c1: von (1,1,1) bis (0,0,0) c2: von (0,0,0) bis (e,-15,0) c3: von (e,-15,0) bis (3,0,wurzel(2)) c4: von (3,0,wurzel(2)) bis (-1,2,0) Nun zur Parametrisierung: $\begin{eqnarray} \vec{c_{1} } = \begin{pmatrix} t\\ t \\ t\end{pmatrix} t\in \left[0,1\right] \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \vec{c_{2} } = \begin{pmatrix} t\\ t \\ 0\end{pmatrix} t\in \left[-15,e\right] \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \vec{c_{3} } = \begin{pmatrix} t\\ t \\ t\end{pmatrix} t\in \left[0,3\right] \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \vec{c_{4} } = \begin{pmatrix} t\\ t \\ t\end{pmatrix} t\in \left[-1,2\right] \end{eqnarray}$ Es wirklich klasse, wenn ich feedback zu meiner Parametrisierung bekomme! Viele Grüße, Davi90
01.09.2013, 14:28	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Würde der Summand in der zweiten Koordinate $\begin{eqnarray} \operatorname{e}^{2z} \end{eqnarray}$ heißen, so wäre die Aufgabe einfacher zu lösen, da $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ eine Stammfunktion $\begin{eqnarray} F \end{eqnarray}$ besäße. Mithin wäre eine Parametrisierung überflüssig.
01.09.2013, 14:55	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Parametrisierung Kurvenintegral Bis auf $\begin{eqnarray} \vec c_1 \end{eqnarray}$ stimmen deine Parametrisierungen nicht. Es ist z. B. $\begin{eqnarray} \vec c_2(-15)=\begin{pmatrix} -15 \\ -15 \\ 0\ \end{pmatrix} \neq \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0\ \end{pmatrix} \text { und } \neq \begin{pmatrix} e \\ -15 \\ 0\ \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \vec c_2(-15) \end{eqnarray}$ stimmt also weder mit dem Anfang noch mit dem Ende der fraglichen Strecke überein. Und bei $\begin{eqnarray} \vec c_1 \end{eqnarray}$ wird die Strecke in umgekehrter Richtung durchlaufen, was zumindest unpraktisch ist. Ein Strecke zwischen dem Anfangsvektor $\begin{eqnarray} \vec r_a \end{eqnarray}$ und dem Endvektor $\begin{eqnarray} \vec r_e \end{eqnarray}$ parametrisiert am besten mittels $\begin{eqnarray} \vec r(t) = \vec r_a+t(\vec r_e-\vec r_a) \text { mit } t \in [0, 1] \end{eqnarray}$ Dieser Hinweis mag dir auch dann nützlich sein, wenn Leopold mit seiner Vermutung richtig liegt und du bei dieser Aufgabe eventuell keine Parametrisierung brauchst.

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